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微分方程模型案例分析 -------传染病传播的数学模型 张清华 由于人体的疾病难以控制和变化莫测，因此医学中的数学模型较为复杂。医学中的数学模型分为两大类：传染病传播的数学模型和疾病数学模型。以下仅讨论传染病的传播问题。人们将传染病的统计数据进行处理和分析，发现在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。这一现象如何解释呢？关于这个问题，医学工作者试图从医学的不同角度进行解释都得不到令人满意的解释。最后由于数学工作者的参与，在理论上对上述结论进行了严格的证明。同时又由于传染病数学模型的建立，分析所得结果与实际过程比较吻合，这个现象才得到了比较满意的解释。传染病传播所涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等。如果还要考虑人员的迁入与迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的传播等因素的影响，那么传染病的传播就变得非常复杂。 如果一开始就把所有的因素考虑在内，那么将陷入多如乱麻的头绪中不能自拔，倒不如舍去众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。下面由简单到复杂将建模的思考过程作一个示范，读者可以从中得到很好的启发。 模型一 假设(1)，每个病人在单位时间内传染的人数是常数； 假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。记表示t时刻病人数，表示每个病人单位时间内传染的人数，，即最初有个传染病人。则在时间内增加的病人数为 于是得微分方程 (1)， 其解为 结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的。这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播快，被传染人数按指数函数增长。但由方程(1)的解可以推出，当时，，这显然是不符合实际情况的。问题在于两条假设均不合理。特别是假设(1)，每个病人在单位时间内传染的人数是常数与实际不符。因为在传播初期，传染病人少，未被传染者多；而在传染病传播中期和后期，传染病人逐渐增多，未被传染者逐渐减少，因而在不同时期的传染情况是不同的。为了与实际情况吻合，我们在原有基础上修改假设建立新的模型。 模型二 用表示t时刻传染病人数和未被传染人数，。假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比，即；假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；假设(3)，总人数为n，即由以上假设得微分方程 (2) 用分离变量法求得其解为 (3) 其图形如图17.1所示模型二可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。 i(t) n 0 图1 图2 医学上称为传染病曲线，它表示传染病人增加率与时间的关系，如图2所示。 由(3)式可得 (4)令 ，得极大点为 (5) 由此可见，当传染病强度K或总人数n增加时，都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合。同时，如果知道了传染强度K（K由统计数据得出），即可预报传染病高峰到来的时间，这对于防治传染病是有益处的。模型二的缺点是：当时，由(3)式可知，，即最后人人都要生病，这显然是不符合实际情况的。造成该问题的原因是假设(2)中假设了人得病后经久不愈。 为了与实际问题更加吻合，对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得了病后有的会死亡；另外不是每个人被传染后都会传染别人，因为其中一部分会被隔离。还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设的那样，人得病后经久不愈。为此作出新的假设，建立新的模型。 模型三　　 在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素，但仍要把问题简单化。设患过传染病而完全痊愈的任何人具有长期免疫力，不考虑反复受传染的情形，并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即一个人患了病之后立即成为传染者。在这种情况下，把居民分成三类： 第一类是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的，用I(t)表示t时刻第一类人数；第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用s(t)表示t时刻第二类人数；第三类包括患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在病