第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法.pptVIP

z = 1 和 z = -1均为勒让德方程 的正则奇点。 举例 z0 = 1 时， 和 在 z0 = 0 处解析。 z0 = 1 时， 和 在 z0 = 1 处解析。 要判断 z = ∞ 是否为方程的奇点，作自变量变换 （前面已推得）方程化为 在 t = 0 处， 解析。 则 z = ∞ 是方程 的正则奇点。 判断 z = ∞是否为超几何方程和勒让德方程的正则奇点 。 例题 超几何方程： 在 t = 0 处解析，t = 0 为正则奇点。z = ∞ 为超几何方程的正则奇点。 勒让德方程： 在 t = 0 处解析，t = 0 为正则奇点。z = ∞ 为勒让德方程的正则奇点。 将 代入方程 比较系数，求出指标 和系数递推关系 在正则奇点 z0 处将 代入方程 正 则 奇 点 邻 域 内 级 数 解 的 求 解 思 路 整数 求得两个线性无关解 只求得一个解 求解过程 设 z = 0 是方程 的正则奇点， 在 z = 0 的邻域内，方程的系数作洛朗展开： 设解为 代入方程，有 由于 的存在，c0 不会因求导而消失，k 仍从 0 取起。 约去 ，整理得 的系数为 即 指标方程 其中 获得指标，其中 和 （规定 ） 的系数为 系数递推关系 反复利用系数递推关系，得到 ★ 若 整数，分别代入 和 可得两个线性无关的特解 ★ 若 ，第二特解必含对数项 ★ 若 （整数），第二特解可能含有对数项 补充讨论： 当 （整数）时，若第二特解含有对数项，其系数 有 ∵ ∴ 因此，① 时， 无解； ② 时， 任意。 对于 ①， 一定含有对数项； 对于 ②， 同时依赖于 和 ， 有两项，一 项正比于 ，一项正比于 ，而此时 可取任意值， 取 。 因此， （整数），第二特解可能含有对数项 补充证明： 普遍理论 对二阶常微分方程 ，若已求出 ，总可以通过积分 求出第二解的级数。 得 证明 即 ∵ ∴ 可知 两端同除以 得 积分得 再积分，即 例题 解 求方程 在 z = 0 邻域内的两个级数解。 又知 z = 0 是方程的正则奇点。 方程的标准形式为 易知 在 z = 0 点解析 z = 0 是方程的奇点 * 第六章 二阶线性常微分方程 的幂级数解法 数学物理方法—— 数学物理问题中的二阶线性常微分方程的标准形式为 方程的系数→解的解析性 级数解法得到的解总是指某一指定点 z0 的邻