常微分方程3.3 线性常系数齐次方程.pptVIP

3.3线性齐次常系数方程 在上一节中我们讨论了线性方程通解的 结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出， 对一般的线性方程没有普遍的解法， 　　但对常系数线性方程及可化为这一类型的方程， 可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数 齐次方程通解的解法。 一 复值函数 如果 和 是区间(a,b)上定义的 称 为该区间上(a,b) 实函数， 的复值函数 . 1 连续 如果实函数 和 在区间(a,b)上 就称 在区间上(a,b)上连续. 连续, 2 可微 如果实函数 和 在区间(a,b)上 就称 在区间上(a,b)上可微. 可微, 且复值函数 的导数定义如下: 性质1: 性质2: 性质3: 那么有如下性质: 若 和 可微, 为复值常数， 3 欧拉公式 1) 复指函数与欧拉公式 其中 2) 复指函数的性质 记 表示 的共轭. 性质1: 性质2: 性质3: 4 复值解 考虑方程 其中 及 是区间 上的 实函数. 若有区间（a,b）上复值函数: 为上述方程的复值解. 满足上述方程， 则称 定理3.12 如果方程 中所有系数 都是实值函数. 而 是该方程的复值解, 以及 则 的实部 和虚部 的 共轭 也都是该方程的解. (3.3.4) 证明： 由已知条件及 的性质可得 由此得 所以 ， 都是方程（3.3.4）的解 即 也是方程（3.3.4）的解. 因为 可得 又 (3.3.4) 二 常系数齐次线性方程 （3.3.5） （其中 为常数）为n阶常系数齐次线性方程. 为求得该方程的通解，我们先利用待定指数函数法求其基本解组. 一阶常系数齐次线性微分方程 有通解 因此，对方程（3.3.5）求指数函 数形式的解 （3.3.6） 把（3.3.6）代入方程（3.3.5）得 成为方程（3.3.5）解的充要条件为： （3.3.5） 方程（3.3.7）称为方程（3.3.5）的特征方程，它的根称为方程（3.3.5）的特征根. （3.3.7） 1 特征根为单根 设 是（3.3.7）的n个不相同根， 则对应方程（3.3.5）有n个解 （3.3.8） （3.3.5） （3.3.7） 这n个解在区间a t b上线性无关，从而组成方程（3.3.5）的基本组解. 所以解组（3.3.8）线性无关. （3.3.8） （1）若 均为实数， 则（3.3.8）是方程（3.3.5）的n个线性无关的实值解， （3.3.5） （3.3.8） 其中 为任意常数. 则方程（3.3.5）的通解为 （2）若 中有复数， 则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭出现. 设 是特征根，则 也是特征根， 则方程相应地有两个复值解： 由定理3.12知它们的实部和虚部也是方程的解， 故方程的两个实值解为： 2 特征根有重根 设特征方程有k 重根 ,则有 ，因此， 若 （1） 则特征方程有因子 则特征方程有 形式： 而对应的齐线性方程为： 特征方程的k 重零根对应齐线性方程 k个线性无关解为 （2）若 ,作变换 ,代入方程： （3.3.9） （3.3.10） （3.3.5） 特征方程： （3.3.11） （3.3.7） （3.3.12） 的k 重根 对应着 k重零根. 对应着方程的 个解 类似地，假设方程（3.3.7）的其他根 的重数依次为 而且 则方程（3.3.5）相应有解 （3.3.13） （3.3.5） （3.3.7） 需要证明（3.3.12）,（3.3.13）构成方程（3.3.5）的基本解组， 即证明这些函数线性无关. 求常系数齐线性方程方程的通解的一般步骤： 第一步 求方程的特征方程及特征根 第二步 计算方程相应的解 a) 对每一个单实根 有解 b) 对每一个m 1重实根 方程有m个解 c) 对每一个重数为1的共轭复根 方程有2个解： d)对每一个重数 m 1的共轭复根 …… 第三步 根据第二步写出基本解组和通解 解：特征方程 故特征根为 例1：求 的通解. 其中 是单根， 是二重根， 因此有解 方程通解为： 其中 为任意常数. 例2：求 的通解. 解：特征方程 故特征根为 上述两实根和两复根均是单根，方程通解为： 其中 为任意常数. 例3：求 的通解. 解：特征方程 故特征根为 其中 为任意常数. 方程通解为： 其中 是单根， 是三重根，