第二章 拉普拉斯变换的数学方法.pptVIP

提纲 2.1 复数和复变函数 2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 2.6 用拉氏变换解常微分方程 拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。是分析研究线性动态系统的有力工具。 时域的微分方程 复数域的代数方程 系统分析大为简化 直接在频域中研究系统的动态性能 引言 复数和复变函数 （1）复数的概念 其中， 均为实数。 为虚单位。 （2）复数的表示法 点表示法 向量表示法 三角函数表示法 指数表示法 引言 复数和复变函数 （3）复变函数的概念 为自变量。 2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 1、拉氏变换 2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 2、拉氏反变换 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.4 拉氏变换的性质 例2.3 图2－10所示方波的拉氏变换。 例2.4 求图2－11所示三角波的拉氏变换。 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 拉氏反变换的数学方法有： (1) 查表法－简单象函数； (2) 有理函数法－需要复变函数的留数定理； (3) 部分分式法－复杂的象函数简化为几个简单的部分分式之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数； (4) 利用MATLAB求解。 1.部分分式法求原函数 2.使用MATLAB函数求解原函数 For example: Num=10*[1 2];%定义分子多项式 Den=poly([-1;-3;-4])；%定义分母多项式 [res,poles,k]=residue(num,den)；展开num/den 残差、极和直接项分别为： Res=[-6.6667;5.0000;1.6667] Poles=[-4;-3;-1] K=[]; Note:(x+1)(x+3)(x+4)=x^3+8x^2+19x+12 2.6 用拉氏变换解常微分方程 1) 利用拉氏变换将常微分方程转化代数方程； 2) 得到代数方程的解，即解的象函数； 3) 拉氏反变换求得常微分方程的解。 利用MATLAB中的函数residue将原函数展开成部分分式，然后查拉氏变换的表格得到原函数。函数格式： [r,p,k]=residue(b,a);%返回多项式b/a之比的部分分式展开项中的残差、极和直接项。 [b,a]=residue(r,p,k)；%将部分分式展开项还原成多项式 * 控制工程理论基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 拉氏变换 例： 当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。 有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作： L[f(t)]或F(s)，并定义为： (2－1) f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件： （1）在任一有限区间上， f(t)分段连续，只有有限个间断点； （2）当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足： 该条件使得积分绝对值收敛。 已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反变换，记作： 定义为如下积分： 其中：s为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。 (2－2) 1 单位阶跃函数 定义为： 单位阶跃函数的拉氏变换为： 2 单位脉冲函数 定义为： 单位脉冲函数的重要性质： 单位脉冲函数的拉氏变换为： 3 单位斜坡函数 定义为： 单位斜坡函数的拉氏变换为： 4 指数函数 定义为： 指数函数的拉氏变换为： 5 正弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为： 6 余弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为： 7 幂函数 其拉氏变换为： 例： Page 20,表2－2为常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的拉氏变换。 1. 线性性质－线性变换 (2-3) 2. 实数域的位移定理－延时定理 (2-4) 其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延迟a秒的延时函数，且： 图示方波函数表达为： 利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理： 图示三角波函数表达为： 利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理： 2.4