常微分方程5.3.1.pptVIP

作业 P236 2,3(a),4(b),5(a),6(a),8,10(a) 4、“哈密顿-凯莱”法： Hamilton-Caylay定理： 任意n×n常数矩阵A均是它的特征多项式的根 例10 求方程组 满足初始条件 解法一：先求通解，再求初值问题的解 系数矩阵： 特征方程： 特征根： 由： 可解出两个线性无关的向量： 方程组的通解为： 所以初值问题的解为： 法二：直接求解 解 特征根为 由(5.48)我们需要考虑下面方程 和 首先讨论 这个方程组的解为 其次 这个方程组的解为 解之得 代入上式得到三个线性无关的解,利用这三个解为列,即得 法三：利用Hamilton-Caylay法求解： 解： 特征值： (1)求A的特征值 (2)求解初值问题： (3)由公式得基解矩阵 (3) 非齐线性方程的解 下面研究非齐线性微分方程组 由于(5.60)对应齐次方程组 的基解矩阵为 故由常数变易公式, 例10 设 的解. 解 由例6知 故初值问题的解为 三 拉普拉斯变换的应用 (1)定义 定义其拉普拉斯变换为 常系数线性微分方程组: 1用拉普拉斯变换解微分方程组 (2)定理12 (3) 推论 常系数线性方程组 §5.3 常系数线性微分方程组 一阶常系数线性微分方程组: 本节主要讨论(5.33的基解矩阵的求法. 一、矩阵指数expAt的定义和性质 1 expA的定义 定义 注1: 矩阵级数(5.34)收敛且绝对收敛. 由于 而数项级数 收敛 . 2 expAt的定义 注 ：由于 数项级数 收敛； 所以函数级数在t的任何有限区间上是一致收敛的. 定理9：矩阵 是(5.33)的基解矩阵,且 证明: 又因为 2 矩阵指数函数的性质 例1 如果A是一个对角矩阵 解 由(5.34)得 例2 解 因为 而后面两个矩阵是可交换的 故 二、基解矩阵的计算： 2 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系 结论： 2 基解矩阵的计算方法---常系数线性微分方程组的解法 (1) 矩阵A的特征根均为单根的情形 定理10 是常系数线性微分方程组 的一个基解矩阵. 证明: 由上面讨论知,每一个向量函数 都是(5.33)的解,因此矩阵 是(5.33)的解矩阵, 所以 例5 解 由例3知 由定理10,矩阵 就是一个基解矩阵. 注: 但由于 有 从而 例6 试求例5的实基解矩阵. 解 由于基解矩阵为 故实基解矩阵为 例7 求方程组 的通解. 解 因此特征根为 它们相的特征向量为 故基解矩阵为 故通解为 (2) 矩阵A的特征根有重根的情形 解： 答案： 2、空间分解法：通过先寻求满足初始条件的解求基解矩阵： 解： 由命题： 由此即得： 所以： 即： 又： 其中： 3、约当标准形法： 则： 注1： 缺点：求约当标准型及过渡矩阵T的计算量太大！ * * * *