北京四中高中数学 同角三角函数的基本关系式基础知识讲解 新人教A版必修1.docVIP

同角三角函数基本关系 【学习目标】 1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法； 2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】 要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： (2)商数关系： (3)倒数关系：，， 是的简写； (3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。 要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形： ， 2．商数关系式的变形 。 【典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1．若，且是第三象限角，求cos，tan的值。 【思路点拨】由求，可利用公式，同时要注意角所在的象限。 【答案】 【解析】 ∵，是第三象限， ∴， 。 【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。 举一反三： 【变式1】已知，求cos，tan的值。 【解析】因为，所以是第三或第四象限角。 由sin2+cos2=1得 。 当是第三象限角时，cos＜0，于是， 从而； 当是第四象限角时，cos＞0，于是， 从而。 类型二：利用同角关系求值 【高清课堂：同角三角函数关系公式 385948 例2】 例2．已知：求： （1）的值；（2）的值； （3）的值；（4）及的值 （2）（3）0（4）或 【解析】（1）由已知 （2） （3） （4）由，解得或 【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。 举一反三： 【变式1】已知，求下列各式的值： （1）tan+cot；（2）sin3－cos3。 【解析】 由两边平方得。 （1）。 （2） 。 【高清课堂：同角三角函数关系公式 385948 例2】 例3．已知：，求： （1）；（2）；（3）。 【解析】（1）原式= （2）原式= （3）原式= = == 【总结升华】已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos≠0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。 举一反三： 【变式1】已知，求下列各式的值. (1) (2) 【解析】 类型三：利用同角关系化简三角函数式 例4．化简： （1）； （2）若，化简。 【思路点拨】把根号下面的式子化成完全平方式，开方去掉根号。 【解析】 （1）原式 。 （2）∵，∴sin＜0， ∴原式 ∵sin＜0， ∴原式。 【总结升华】解答此题目常用的方法有： （1）化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化成正弦函数、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的。 （2）对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的。 （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2+cos2=1，以降低函数次数，达到化简的目的。 举一反三： 【变式1】化简 （1）； （） 【解析】（1）原式= （2）原式= 类型四：利用同角关系证明三角恒等式 例5．求证：（1）； （2）。 【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。 【证明】（1）左边 =右边， ∴原等式成立。 （2）左边 =右边， ∴原等式成立。 【总结升华】（1）在三角式的化简中，常常“化切为弦”，以减少函数种类。 （2）三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，灵活运用所学知识，本题也可从右到左证明。 举一反三： 【变式】求证：. 【解析】证法一：由题意知，所以. ∴左边=右边. ∴原式成立. 证法二：由题意知，所以. 又∵， ∴. 证法三：由题意知，所以. ， ∴. 1