北京四中高中数学 同角三角函数的基本关系式提高知识讲解 新人教A版必修1.docVIP

同角三角函数基本关系 【学习目标】 1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法； 2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】 要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： (2)商数关系： (3)倒数关系：，， 是的简写； (3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。 要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形： ， 2．商数关系式的变形 。 【典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1．已知tan=－2，求sin，cos的值。 【思路点拨】先利用,求出sin=－2cos，然后结合sin2+cos2=1，求出sin，cos。 【解析】 解法一：∵tan=－2，∴sin=－2cos。 ① 又sin2+cos2=1， ② 由①②消去sin得(－2cos)2+cos2=1，即。 当为第二象限角时，，代入①得。 当为第四象限角时，，代入①得。 解法二：∵tan=－2＜0，∴为第二或第四象限角。 又由，平方得。 ∴，即。 当为第二象限角时，。 。 当为第四象限角时，。 。 【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。 举一反三： 【变式1】已知是的一个内角，且，求 【思路点拨】根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解. 【解析】为钝角， 由平方整理得 例2．已知cos=m（－1≤m≤1），求sin的值。 【解析】（1）当m=0时，角的终边在y轴上， ①当角的终边在y轴的正半轴上时，sin=1； ②当角的终边在y轴的负半轴上时，sin=－1。 （2）当m=±1时，角的终边在x轴上，此时，sin=0。 （3）当|m|＜1且m≠0时， ∵sin2=1―cos2=1―m2， ∴①当角为第一象限角或第二象限角时，， ②当角为第三象限角或第四象限角时，。 【总结升华】 当角的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。 类型二：利用同角关系求值 【高清课堂：同角三角函数关系公式 385948 例2】 例3．已知：求： （1）的值；（2）的值； （3）的值；（4）及的值 （2）（3）0（4）或 【解析】（1）由已知 （2） （3） （4）由，解得或 【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。 举一反三： 【变式1】已知，求下列各式的值： （1）；（2）sin3+cos3。 【解析】 因为， 所以， 所以。 （1） （2）。 【总结升华】 对于已知sin±cos=m型的问题，常有两种解法：一是两边平方，得±2sincos=m2－1，联立以上两个式子解出sin，cos的值，从而使问题得以解决；二是对所求式子进行变形，化为sin±cos，sin·cos的形式代入求解，解题时注意正、负号的讨论与确定。 例4．已知tan=3，求下列各式的值。 （1）；（2）；（3）。 【思路点拨】由已知可以求出，进而代入得解，但过程繁琐。在关于“齐次”式中可以使用“弦化切”，转化成关于tan的式子，然后利用已知求解. 【解析】（1）原式的分子分母同除以cos（cos≠0）得， 原式。 （2）原式的分子分母同除以cos2（cos2≠0）得， 原式。 （3）用“1”来代换， 原式。 【总结升华】 ①已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos≠0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。 举一反三： 【变式1】（1）已知tan=3，求sin2－3sincos+1的值； （2）已知，求的值。 【解析】（1）∵tan=3，1=sin2+cos2， ∴原式 。 （2）由，得，解得： ∴ 。 类型三：利用同角关系化简三角函数式 例5．化简：。 【解析】 解法一：原式 。 解法二：原式 。 解法三：原式 。 【总结升华】以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式si