北京四中高中数学 三角恒等变换综合提高知识讲解 新人教A版必修1.docVIP

三角恒等变换综合(提高) 【学习目标】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 能导出两角的正弦、正切公式能两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）. 【要点梳理】 要点一：两角差的余弦公式= ①； ②； ③； 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：公式①、②对任意实数α，β都成立，这表明①、②是R上的恒等式；公式③中 2．正向用公式①、②，能把和差角的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角 的弦函数．公式③正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简． 要点二：二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式： ； ； ． 要点诠释： 1．在公式中，角α没有限制，但公式α中，只有当时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：＝＝；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用． 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键． 要点三：二倍角公式的推论 升幂公式：， 降幂公式：； ； . 要点四：三角恒等变换的基本题型三角式的化简、求值三角恒等变换的基本题型①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数． 2．三角函数的求值类型有三类 （1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； （2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； （3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角． 3．三角等式的证明 （1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明． 【典型例题】 类型一：正用公式 例1．已知:，求的值. 【思路点拨】因为不知道角所在的象限，所以要对分别讨论求的值． 【解析】由已知可求得. 当在第一象限而在第二象限时， . 当在第一象限而在第三象限时， . 当在第二象限而在第二象限时， . 当在第二象限而在第三象限时， . 【总结升华】分类的原则是：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论要逐级进行．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的． 举一反三： 【变式1】已知，求的值． 【答案】 【解析】 ． 例2．已知，，，，求的值． 【思路点拨】注意到，应把看成整体，可以更好地使用已知条件．欲求，只需求出． 【答案】 【解析】∵ ， ∴， ∵ ， ∴． ∴ 【总结升华】 （1）解题中应用了式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有,, 等. （2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用. 举一反三： 【变式1】已知 【思路点拨】角的关系式：（和差与倍半的综合关系） 【答案】 【解析】∵，∴ ∴ ∴＝ 【变式2】已知求的值． 【答案】 【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系） ∵，∴ ∴ 又 ∴ ∴ ＝ 于是有. 类型二：