范里安现代观点04效用与效用函数.DOCVIP

Chapter Four: Utility and Utility Function 一、消费者偏好的数学描述 消费者的偏好有两种描述方法，一种是无差异曲线（几何方法），另一种是效用函数（数学方法）。在现代经济学中，效用和效用函数仅仅被看作是描述偏好的一种数学方法。 如果消费者偏好某一消费束，那么一定是这种消费束可以使其获得较大程度的满足，或有较高的效用。因此，对于任意两个消费束和 ，当且仅当 。 其中和分别为两个消费束的效用函数。因此，可以用效用函数对消费者的偏好进行排序。 二、效用函数的单调变换 效用函数就是按照一定的偏好特征给消费束赋值，使之保持一定的次序。在次序不变的情况下，可以有多种赋值方法。单调变换就是在保持效用次序不变的条件下将一组数字变换成另一组数字的方法。 设u为效用函数，f(u)是其单调变换。f(u)可取u的所有初等变换方式，比如f(u) = 3u, f(u) = u+17, f(u) = u3等。对效用函数值的理解应当注意： （1）效用函数值是对偏好次序的一种数量说明。函数值越大，表明偏好的次序越排在前面。例如：u = x1x2，当消费束X = (1,1)时，u1=1；当消费束X= (1,2)时，u2 = 2，由于u1 u2。显然消费者将消费束x = (1,2)排在前面。 （2）一个效用函数的单调变换还是一个效用函数，其代表的偏好与原函数代表的偏好相同，也就是说消费者对商品束的排序不发生变化。单调变换是保持偏好不变的情况下，采用不同的数量单位对偏好次序进行描述。因此，效用函数的性质表示偏好的类型，效用函数值的大小表示偏好的次序。比如，对于效用函数f(u) = u+17：当u =1时f(u) =18；当u = 2时，f(u) =19。在原有的效用函数的基础上加上一个17并不改变两个效用函数的大小顺序。 因此，在对偏好的描述中效用函数强调的是效用的次序，不同的效用函数值代表不同的效用水平。在偏好具有单调性的情况下，任何一种合理的偏好都能用效用函数表示。 三、用效用函数推出无差异曲线 设效用函数，无差异曲线就是对于常数k来说，使得时的所有的集合。根据，当 （1）保持k值不变，可画出与之相对应的无差异曲线。 （2）改变k值，可以画出k = 1，2，… n时的多条无差异曲线。 四、不同偏好的效用函数的几何形状 （一）完全替代偏好的效用函数（线性效用函数） 设 当x1 = 0, x2 = 当x2 = 0, x1 = 由此可以画出无差异曲线。其斜率为-a/b, 表示两种商品之间的替代比率为一个常数。 x2 k/b 斜率=-a/b 0 k/a x1 （二）完全互补偏好的效用函数（列昂惕夫效用函数） b/a表示互补效用函数中两种商品的互补比例。 x2 b/a 0 x1 （三）拟线性偏好效用函数 比如 ，都是拟线性效用函数。 从数学性质上看，拟线性效用函数对x2来说是线性的，但对x1来说是非线性的。也就是说x2的变化会引起u（x1，x2）的线性变化，因为当x2变化时，x1是不变的，所以v(x1)是一个常量。而当x2不变，x1变化时，效用函数u（x1，x2）的变化取决于函数v(x1)，因为v(x1)是非线性的（在这里指凸性无差异曲线），因此u（x1，x2）的变化也是非线性的。可分别对u（x1，x2）求偏导加以证明： 为一函数，故对x1来说是非线性的； ，为一常数，所以对x2来说是线性的。 从几何意义上看，拟线性效用函数反映一条无差异曲线v(x1)的垂直移动。其移动距离反映着效用水平k的变化程度，取决于所消费的x1和x2的数量。当x1给定时，x2的变化使曲线平行移动。当k给定时，x1的变化表现为曲线上点的移动，增加x1的消费将非线性地减少x2的消费。 x2 v(x1) 0 x’1 x1 从经济学含义上看，它反映这样一种经济现象，即消费者在全部收入中将固定的部分用于x1的消费（比如图中的x’1），而将剩余的收入都用于x2的消费。当收入增加时，消费者并不增加x1的消费，而将增加的收入全部用于x2的消费，这样就使效用水平与收入增加同比例的增加。 （四）柯布—道格拉斯偏好的效用函数（柯布—道格拉斯效用函数） 它是性态良好的无差异曲线的标准范例，也是产生性态良好的偏好的最简单的代数表达式。其特征在于总可以通过单调变换使其指数和等于1，即使之具有一次齐次函数的特点。一次齐次效用函数是说，当你按照一定比例增加x1和x2商品的消费时，效用水平也按照同样的比例提高。比如，x1 ，x2 的消费数量增加一倍，效