范里安现代观点07斯卢茨基方程.DOCVIP

Chapter Seven: 斯卢茨基方程 这一章主要用数学方法对收入效应和替代效应进行讨论。由于在经济学中对替代效应有两种描述方法，因此我们也将对有关的概念作简要的介绍。 一、直接效用函数、间接效用函数和支出函数 （一）直接效用函数 就是由商品的消费量所决定的效用函数。其一般描述为：，其中x是向量。在序数效用论中，直接效用函数本身没有经济意义，但是在一定效用值下的消费束x*是有意义的。因此，我们只关心直接效用函数值达到最大时的需求。 （二）间接效用函数 根据约束条件下的极值问题，求出最优选择之后，可以将x*带回间接效用函数中去，从而得到一个新的效用函数，这个效用函数是价格和收入的函数，我们将这个效用函数称作间接效用函数。一般描述为：。间接效用函数是通过求解下述效用最大化问题得到的，即 由此：（1）求出马歇尔需求函数：，所有变量都可度量。 （2）将其带回目标函数，可以求出间接效用函数 （三）支出函数 消费者均衡一般是指在一定的预算约束条件下可以给消费者带来最大效用的商品消费数量。实际上，问题也可以反过来提出，即在一定的效用水平上的最小货币支出数量是多少。支出函数衡量的是与一定的效用水平相对应的在消费者均衡条件下的最小货币支出数量。它是与马歇尔需求函数相对应的最小支出函数，是通过求解下述支出最小化问题得到的，即 由此：（1）求出希克斯需求函数：，其中包含不可度量因素。 （2）将其带回目标函数，可以求出支出函数 二、用货币度量的直接和间接效用函数 （一）用货币侧度的直接效用函数 假定在价格向量q条件下与消费束向量x相对应存在一个效用水平。现要考察当价格向量为p时，要达到x所在效用水平需要多少货币数量。这就是货币测度效用函数要研究的问题。这实际上是求达到效用水平u(x)并在价格p条件下的最小支出。用数学形式描述这一问题就是： 其中消费束向量z是u(x)上与p相对应的点，如下图所示： 商品2 z x 商品1 求解上述问题可得z，代入目标函数可得到最小支出 pz =e(p, u(x))。它表示的就是在价格为p时，为达到u(x)而需要的最小货币数量。 由此，可以定义货币测度直接效用函数m(p,x)，其与上述支出函数具有相同的含义，即 m(p,x) =e(p, u(x))。货币侧度的效用函数与普通支出函数不同的地方是反映价格变化条件下的最小货币支出。上述公式为衡等式表明定义对任意价格都成立。m(p,x) 又称为“最低收入函数”或“直接补偿函数”。 货币侧度的效用函数具有以下三个特点： 当x不变时，m(p,x)就是支出函数，其对于p具有单调、齐次性。 当p不变时，其实际上是一个效用函数。因为当价格p不变时，较多的m就意味着较多的x，就会产生较多的效用水平。这时就会有一个处于较高位置的无差异曲线与最小支出曲线相切。 （3）货币侧度得效用函数m(p,x)是直接效用函数u(x)的单调变换。因为u(x)是用消费x时的效用值来反映效用水平；而m(p,x)是用货币数量反映效用水平，使用的度量单位不一样。 （二）货币测度的间接效用函数 货币测度的效用函数，也可以用间接效用函数来定义，即 其中m/q=x, m’/p=z, 所以间接效用函数与直接效用函数相比反映相同的效用水平，但包含的价格和收入都是可度量因素。 求解上述极值问题，可得支出函数，由此可定义货币测度间接效用函数，即 u(p;q,m)= e(p,v(q,m)) u(p;q,m)的含义是：在价格ｐ的条件下，消费者需要多少货币才能够和他在价格q和收入m所能达到的效用水平相同。货币侧度的间接效用函数与前面的直接效用函数一样具有三个基本特性。 （三）用货币测度的效用函数来度量效用的变化 由于货币侧度的效用函数恒等于支出函数，因此可以用支出函数的差异来描述效用的变化。比如补偿变化cv=e(p’;p,m)-e(p’;p’,m)，如图所示。在原价格p条件下，预算先与相切于x点；在价格变化为p’之后，预算先与相切于z点；在价格和收入都作调整之后两条曲线相交于z’点。 商品1 z z’ x 商品2 cv（用商品1来衡量） （四）计算货币度量效用函数的步骤 1、据支出最小化求出支出函数； 2、通过替代或初等变换求出直接或间接效用函数； 3、再将直接或间接效用函数代入支出函数，从而求出货币测度的效用的效用函数。 举例：求解当效用函数为柯布-道格拉斯效用函