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【实数的概念】
有理数:如果把整数看作是分母为1的分数,那么有理数就是用两个整数之比表示的分数,即(其中)。
无理数:无限不循环小数叫做无理数,如π,等。
实数:有理数和无理数统称为实数。
相反数:无理数也有正负之分。只有符号不同的两个无理数,如和,和,它们互为相反数。
【数的开方】
平方根和开平方
平方根:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。
开平方:求一个数a的平方根的运算叫做开平方,a叫做被开方数。
正数a的两个平方根可以用“”表示,其中表示a的正平方根(又叫算术平方根),读作“根号a”;表示a的负平方根,读作“负根号a”。
零的平方根记作,。
负数没有平方根,因为任何一个实数的平方都不是负数。
算术平方根满足双重非负性,即同时满足以及。
2.立方根和开立方
立方根:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,用“”表示,读作“三次根号a”,中的a叫做被开方数,“3”叫做根指数。
开立方:求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
立方根性质:
任何一个数都有立方根,而且只有一个立方根。
正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是0。
开立方与立方互为逆运算。
3.n次方根
n次方根:如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a,那么这个数叫做a的n次方根,用“”表示,读作“n次根号a”
开n次方:求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方,a叫做被开方数,n叫做根指数。
a的n次方根根指数
a的n次方根
根指数
被开方数
n次方根性质:
(1)实数a的奇次方根有且只有一个用“”表示。其中a是任意实数,n是大于1的奇数。
(2)正数a的偶次方根有两个,它们互为相反数,分别是。其中a0,根指数n是正偶数。
(3)负数的偶次方根不存在。
(4)零的n次方根等于零,表示为。
【实数的运算】
1.用数轴上的点表示实数
每个实数都可以用数轴上的一个点表示,而且这样的点是唯一的,它是这个实数在数轴上所对应的点。事实上,全体实数所对应的点布满整个数轴。数轴上的每一个点都可以唯一的用一个实数表示。
数轴三要素:原点,正方向,单位长度
2.在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的完全一样。
绝对值:一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。实数a的绝对值记作。
相反数:绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数。互为相反数的点在数轴上分别位于原点的两边,且距离相等。
倒数:如果a表示为一个非零实数,那么a和互为倒数。
3.实数比大小:数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的点多表示的数。
正数零负数
两个正数,绝对值大的数比较大;两个负数,两个正数,绝对值大的数比较小。
4.数轴上两点间的距离公式:在数轴上,如果点A、点B所对应的数分别是a、b,那么A、B两点的距离AB=。
1.实数的运算
实数的加、减、乘、除、乘方等运算的意义,与有理数运算意义一样。
一般情况下对于有理数a乘以,即时,将a放在的前面,写成的形式。
用于被开方数相乘除的两个公式:
,。
2.近似数与有效数字:
准确数:完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数。
近似数:与准确数达到一定接近程度的数。
精确度:对近似数的近似程度所做出的要求。
有效数字:对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,往右到末位数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字。
近似数
近似数
有效数字
准确数
【分数指数幂】
分数指数幂的概念:
把指数的取值范围扩大到分数,我们规定:,,其中m、n为正整数,n1。在规定中的与叫做分数指数幂,a是底数。
有理数指数幂概念:
整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂。
有理数幂运算性质:
设a0,b0,p、q为有理数,那么:
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