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初二数学：平行四边形知识点总结及压轴题练习

同学们，平行四边形是我们平面几何学习中非常重要的一块内容，它既是三角形知识的延伸，也是后续学习特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的基础。掌握好平行四边形的性质与判定，能够帮助我们更灵活地解决各种几何问题。下面，我们就一起来系统梳理一下平行四边形的核心知识点，并通过几道压轴题来检验和提升我们的运用能力。

一、平行四边形的定义与性质

1.定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。这个定义不仅是平行四边形的识别依据，也是它最基本的性质来源。我们通常用符号“?”来表示平行四边形，例如平行四边形ABCD可记作?ABCD。

2.性质

从平行四边形的定义出发，我们可以推导出它的一系列性质，这些性质主要围绕边、角、对角线三个方面展开：

*边的性质：

*平行四边形的对边平行且相等。（这是由定义直接得到的核心性质，也是后续很多证明的基础。）

*推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

*角的性质：

*平行四边形的对角相等。

*平行四边形的邻角互补。（因为两直线平行，同旁内角互补）

*对角线的性质：

*平行四边形的对角线互相平分。（这一性质揭示了平行四边形对角线之间的关系，常常在与线段中点相关的问题中发挥作用。）

*对称性：

*平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。（理解这一点有助于我们从图形变换的角度认识平行四边形。）

二、平行四边形的判定

判定一个四边形是不是平行四边形，除了定义（两组对边分别平行）外，还有以下几个重要的判定定理。这些判定定理通常是从性质定理的逆命题入手，并经过证明得到的：

*从“边”看：

*两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

*一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（“平行且相等”这个条件非常关键，缺一不可。）

*从“角”看：

*两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

*从“对角线”看：

*对角线互相平分的四边形是平行四边形。

在具体解题时，我们要根据题目给出的已知条件，灵活选择最合适的判定方法。有时，可能需要综合运用多种判定方法或结合三角形全等的知识来解决问题。

三、压轴题练习与解析

掌握了知识点，接下来就是通过练习来巩固和深化理解，特别是一些综合性较强的“压轴题”，能够很好地检验我们的知识运用能力和解题技巧。

例题1：

已知：如图，在?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点。求证：四边形AECF是平行四边形。

思路点拨：

要证明四边形AECF是平行四边形，我们可以从已知条件出发，看看能得到哪些边或角的关系。已知ABCD是平行四边形，所以AB平行且等于CD。E、F分别是AB、CD的中点，那么AE与CF的关系就很明显了。我们可以考虑使用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个判定定理。

简要解答：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD。

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=1/2AB，CF=1/2CD。

∴AE=CF。

又∵AB∥CD，即AE∥CF。

∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

例题2：

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且ADBC，BC=6cm。点P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，设运动时间为t秒。问：当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？

思路点拨：

这是一道动态几何问题。要使四边形PQCD是平行四边形，根据已知条件AD∥BC，即PD∥QC（因为P在AD上，Q在BC上）。所以，只需满足PD=QC即可。我们可以用含t的代数式分别表示出PD和QC的长度，然后令它们相等，解方程即可求出t的值。

简要解答：

由题意知：AP=tcm，CQ=2tcm。

∵AD∥BC，ADBC，BC=6cm。

设AD的长度为一个固定值（虽然题目没直接给，但PD=AD-AP，QC=2t，当PD=QC时，PQCD是平行四边形）。

假设AD的长度为Lcm（L6），则PD=AD-AP=(L-t)cm。

要使四边形PQCD是平行四边形，需PD=QC。

即L-t=2t。

但题目中AD的长度未知，这似乎是个问题。不过，我们再仔细看题，发现当四边形PQCD是平行四边形时，PQ∥CD，且PD=QC。而AD∥BC，所以实际上，此时Q点应该在BC上，且BQ=BC-QC=6-2t。而AP=t，PD=AD-t。

但题目中AD的长度并没有给出具体数值，这说明AD的长度不影