专题09 排列组合、二项式定理-2025高考数学三模试题分类汇编（新高考通用）（解析版）.docxVIP

专题09排列组合、二项式定理及基本不等式

题型概览

题型01排列组合

题型02二项式定理

题型03基本不等式

题型01

题型01

1．（2025年湖北武汉市武昌区三模）如图，某社区为墙面、、、四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（???）

A．12种 B．24种 C．48种 D．144种

【答案】C

【分析】由题，三种颜色的涂法有两种，即与同色或与同色，由计数原理列式求解.

【详解】三种颜色的涂法有两种，即与同色或与同色，所以恰好使用3种颜色的涂法有种.故选：C.

2．（2025年江西九江市三模）含甲、乙的5名同学分成两组参加志愿服务活动，则甲、乙不同组的分配方案有（???）

A．6种 B．8种 C．12种 D．16种

【答案】B

【分析】先分析分组情况，再分别计算不同分组下甲、乙不同组的方案数，最后相加得到结果.

【详解】名同学分成两组，有和分组以及和分组这两种情况.若甲在人组，乙在人组，这是种情况；若甲在人组，乙在人组，这又是种情况.所以和分组时甲、乙不同组的方案数为种.若甲在人组，乙在人组，那么从剩下人中选人与甲一组，根据组合数公式，则种情况；若甲在人组，乙在人组，同样从剩下人中选人与乙一组，也有种情况.

所以和分组时甲、乙不同组的方案数为种.根据分类加法计数原理，将两种分组情况的方案数相加，可得甲、乙不同组的分配方案共有种.故选：B.

3．（2025·湖南省郴州市·三模）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1?区域2?区域3?区域4?区域5?区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有种不同的涂色方案．

【答案】96

【分析】根据使用颜色的数量进行分类计算即可．

【详解】若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，共有种涂法；若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况，

先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法；故总的涂色方案有种，故答案为：96．

3．（2025·四川省自贡市·三模）要安排4名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有种.

【答案】36

【分析】部分平均分组，先分组，再进行全排列，利用排列组合知识进行求解

【详解】由题意，这4名学生只能进行1,1,2的安排，故不同的安排方法有种.

5．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设，对于有序数组，记为，，，中所包含的不同整数的个数，比如：，．当时，有序数组的个数为；当取遍所有的个有序数组时，）的总和为．

【答案】4700

【分析】根据的概念直接求解有序数组的个数即可；根据题意得数据中的整数个数可能有四种情况，分别进行讨论即可得出结果.

【详解】由题意知，当时，四个位置的数字必须相同，故有序数组的个数为；按的取值分类，当时，有组，

当时，可分两种情况：其中一个数出现次，另一个数出现次或这两个数均出现次，则按照先分组再分配的方式得出共有组，

当时，的情况为：一个数出现次，另外两个数均出现次，则按照先分组再分配的方式得出共有组，当时，有组，所以总和为.故答案为：4；700

6．（2025·湖南长沙·三模）在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部（不包括表面）的整点（横、纵、竖坐标均为整数的点）的个数为．（用数字作答）

【答案】969

【分析】根据给定条件，利用隔板法列式求出正整数解个数即可.

【详解】点是三棱锥内部（不包括表面）的整点，则

当时，不同的正整数解个数为；当时，不同的正整数解个数为；

，当时，不同的正整数解个数为；当时，不同的正整数解个数为，

所以三棱锥内部的整点的个数为

.

题型02

题型02

1．（2025·湖南省永州市·三模）的展开式的第4项系数是（???）

A． B．280 C． D．560

【答案】A

【分析】利用二项式定理列式求得答案.

【详解】的展开式的第4项系数是.故选：A

2．（2025年山东省泰安市三模）的展开式中项的系数为（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可.

【详解】展开式的通项公式为，

令，得，所以展开式中项的系数为.故选：C.

3．（2025·湖南永州·三模）的展开式的第4项系数是（???）

A． B．280 C． D．5