2025-2026学年上海市南洋模范中学高二上学期期中数学试卷含详解.docxVIP

2025学年第一学期南模中学高二年级期中考试

数学学科

（本次考试时间120分钟,满分150分,命题人：李振昕,审题人：蔡文意）

一,填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．若圆锥的高为10,底面圆的半径为2,则这个圆锥的体积为．

2．小明在期中复习时,对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角,②直线与平面所成的角,③二面角,④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有（请填写序号）

3．如图是一个平面图形的直观图,其中,,则原图形的面积等于．

4．如图,正六棱柱中与直线异面的侧棱共有条．

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5．与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体,截面上的点到圆柱底面距离的最大值为,最小值为,则该几何体的体积为．

6．一个正四面体木块如图所示,点P是棱VA的中点,过点P将木块锯开,使截面平行于棱VB和AC,若木块的棱长为a,则截面面积为.

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7．如图,在正四棱柱中,,该正四棱柱的体积为48,则直线与底面所成角的大小为.（用反三角函数表示）

8．如图,在一个的二面角的棱上,有两个点,分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且,则CD的长为．

9．如图,在三棱柱中,所有棱长均为1,且底面,则点到平面的距离为.

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10．如图,正八面体棱长为4,空间动点满足,则的最大值为.

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11．“曼哈顿距离（ManhattanDistance）”是由19世纪赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇,表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中,点,之间的曼哈顿距离为．现已知在空间直角坐标系中,点O为坐标原点,动点P满足,则由动点P构成的几何体的体积为．

12．数学中有许多形状优美,寓意独特的几何体,“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图,在勒洛四面体中,正四面体ABCD的棱长为4,给出下列四个结论：正确的序号是．

①若P,Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点,则PQ的最大值是4.

②勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是.

③勒洛四面体ABCD的体积是.

④勒洛四面体ABCD内切球的半径是．

二,选择题（本大题共4题,满分18分,第13,14题4分,第15,16题5分）

13．已知空间两点,向量满足,则实数的值为（????）

A．0 B．1 C．0或1 D．不存在

14．已知正三棱柱的所有棱长均为2,且点在上运动,则直线与平面所成角的最大正弦值为（???）

A． B．

C． D．

15．已知,,,四点在同一个球的球面上,,,若四面体体积的最大值为3,则这个球的表面积为

A． B． C． D．

16．如图,已知正方体中,,P为线段上一点,Q为平面内一点,则的最小值是（????）

??

A． B． C． D．

三,解答题

17．如图,四棱锥中,底面,,点在线段上,且.

(1)求证：平面.

(2)若,,,,求两条异面直线和所成的角.

18．如图,在正四棱柱中,底面边长为,,,分别为,上的点,且,．

(1)求证：直线平面.

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

19．（1）对于精美的礼物,通常会搭配礼盒保护,现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装,为节省材料费用,定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式,一种是正方体礼盒,另一种是圆柱体礼盒,均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍,工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？

（2）包装好的礼物,通常还会用彩带捆扎,有时还会扎出一个花结,这些包装彩带也不便宜,因此在捆扎时不仅要考虑美观,结实,也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例,较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”,如下图所示．

“十字”捆扎

“对角”捆扎

假设1：将礼物视作一个长方体,其长为4,宽为2,高为1.

假设2：不考虑花结处的彩带,将每一段彩带视为线段,且完全位于礼物的表面上.

假设3：“十字”捆扎中,长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段,每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直.

假设4：“对角”捆扎中,以某种方式展开长方体后,长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段,每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．

①求“十字”捆扎中彩带的总长度.

②根据假设4绘制示意图,求“对角”捆扎中彩带的总长度,并比较两种捆扎方式,给出用彩带捆扎礼物的建议．

20．在空间直角坐标系中,任何一个平面都能用方程表示.（其中,,,