专题06 数列-2025高考数学三模试题分类汇编（新高考通用）（解析版）.docxVIP

专题06数列

题型概览

题型01数列的递推公式

题型02等差数列及其性质

题型03等比数列及其性质

题型04数列的前n项和

题型05数列与概率等知识的交汇问题

题型06数列中的新定义问题

题型01

题型01

1．（2025·四川省自贡市·三模）命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由等比数列的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】充分性：由，且，设，，，，后续项由依次计算得到：，，，，此时数列为1，2，3，4，8，12，16，32，…，显然不是等比数列，所以充分性不成立；必要性：由为等比数列，显然可得，且，故必要性成立.所以是的必要不充分条件.故选：B.

2．（多选）（2025·陕西省安康市·三模）在数列中，，对任意，则（????）

A．B．为递增数列

C．为等差数列D．

【答案】ABD

【分析】令，可得，可判断BC；利用累加法求出可判断A；进而利用裂项相消法求和可判断D.

【详解】令，则，所以，所以为递增数列，不是等差数列，故B正确，C错误；由，，，，

累加得：，所以，故，

而也符合该式，故，所以，故A正确；又，

所以，故D正确.故选：ABD.

3．设数列满足.若存在常数，使得成立，则的最小值是.

【答案】/

【分析】由题意，对的大小分三种情况讨论即可.

【详解】由题意：即可，；若，则且，故，则必有；若，则，该数列为常数列，即，此时；若，则显然有；综上所述：的最小值为.

4．（2025·四川省攀枝花·三模）已知数列的首项，．

(1)求证：是等比数列；

(2)求数列的前项和；

(3)令，求数列的最大项．

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)

【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明；

（2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得；

（3）由（2）可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项.

【详解】（1）因为，所以，又，所以，

所以是以为首项，为公比的等比数列；

（2）由（1）可得，所以，

所以

.

（3）由（2）可得，

则，所以当时，当时，即，所以数列的最大项为；

题型02

题型02

1．（2025·河南省焦作市·三模）已知等差数列的公差为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等差数列的定义求解即可.

【详解】因为等差数列的公差为，所以.故选：C.

2．（2025·湖南省永州市·三模）已知为等差数列的前n项和，且，，则（???）

A．40 B．45 C．50 D．55

【答案】B

【分析】已知，，可利用求和公式求出数列的公差d，再将所得结果代回求和公式中计算即可.

【详解】因为，所以，则.故选：B.

3．若数列是等差数列，其前项和为，若，且，则等于（????）

A．31 B．32 C．33 D．34

【答案】B

【分析】由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差，再由前项和求即可.

【详解】设等差数列的公差为，则解得：，

所以，故选：B.

4．（2025·四川省凉山州·三模）设等差数列的公差为d，若，，则（???）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据题意结合等差中项可得，，进而可得公差.

【详解】因为数列为等差数列，则，即，又因为，即，所以公差.故选：A.

5．（2025年江西省萍乡市三模）记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等差数列的求和公式可得出、的等量关系，结合等差数列的通项公式可得结果.

【详解】由，所以，故.故选：C.

6．（2025年江西九江市三模）九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（公里）后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是（???）

A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里

【答案】C

【分析】根据题意，前4周的跑步量为等比数列，第5周到第10周的跑步量为等差数列，第11周到第20周的跑步量为常数列，分别求和即可.

【详解】记第一周跑步量为，则，所以前4周的跑步量为等比数列，所以则，故第5周到第10周的跑步量为等差数列，则，第11周到第20周每周44公里，总和为440公里，所以小宝同学