（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型14 函数奇偶性的判断、证明与应用（解析版）.docxVIP

常考题型14函数奇偶性的判断、证明与应用

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数

设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

关于原点对称

考法一：函数奇偶性的判定与证明

1.定义法

判断函数的奇偶性时，必须先判断函数定义域是否关于原点对称.若对称，再验证

=±或其等价形式±=0是否成立.具体做法如下

第一步，确定函数的定义域.

第二步，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若对称，进行第三步.

第三步，判断与的关系，并确定结论.

若=，则该函数是偶函数；

若=-，则该函数是奇函数；

若≠且≠-，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数；

若=且=-，则该函数既是奇函数也是偶函数.

2.性质法

(1)如果一个函数可以写成两个常见函数的和、差、积、商形式，那么可以根据这两个函数的奇偶性直接判断出这个函数的奇偶性.

(2)复合函数的奇偶性原理:有偶则偶，同奇为奇.

3.分类讨论法

判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点通过分类讨论进行判断.

4.配凑法

判断或证明抽象函数的奇偶性，需要利用已知条件找准方向，巧妙赋值，配凑出f(-x)与f(x)的关系，再利用奇函数、偶函数的定义加以判断.

考法二：函数的奇偶性的应用

1.求函数值

利用函数的奇偶性求函数值时，要注意:若函数是奇函数，则=-；若函数是偶函数，则==.

2.求函数解析式

利用函数的奇偶性求函数解析式的步骤

(1)将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围.

(2)将转化后的自变量代入已知解析式.

(3)利用函数的奇偶性求出解析式.

3.求参数

在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足=-或偶函数满足=列等式，根据等式两侧对应项相等确定参数的值.

4.求不等式的解集

已知函数的奇偶性以及它的部分图象求解有关不等式的解集时，可以根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，画出函数的图象，结合图象求解相关不等式的解集.

5.比较函数值的大小

根据函数奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为与的相等或相反关系，体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.

探究一：利用函数奇偶性求函数解析式

已知是奇函数，当时，，则当时，（????）

A． B． C． D．

思路分析：

思路分析：

利用函数为奇函数求在上的解析式即可。

【解析】在上有，

∴，又是奇函数，

∴，故.故选：C.【答案】C

【变式练习】

1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，即，解得，

当时，，当时，，则，

因为是奇函数，所以．故选：．

2．定义在上的奇函数，当时，，则在时的(????)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，则，又当时，，所以，

又为奇函数，则，所以.故选：C．

探究二：利用函数奇偶性求参数

若函数为奇函数，则（????）

A． B． C． D．1

思路分析：

思路分析：

根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案。

【解析】由函数为奇函数，可得，所以，

所以，化简得恒成立，所以，即,

经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；

故选:A．【答案】A

【变式练习】

1．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：由题得.因为在上单调递减，并且，

所以，所以或.故选：D

2．已知定义在R上的偶函数．若正实数a，b满足，则的最小值为（????）

A．9 B．5 C．25 D．

【答案】B

【解析】因是R上的偶函数，则，即恒成立，

平方整理得：4x(m-1)=0，则有m=1，此时，由正实数a，b满足得，

，当且仅当，即时取“=”，

所以，当时，的最小值为5.故选：B

探究三：利用函数奇偶性解不等式

已知，若，则实数m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

思路分析：

思路分析：

由函数为偶函数可得，再由函数单调性建立不等式求解即可。

【解析】因为的定义域为,关于原点对称，且，所以是偶函数，故由可得，当时，是增函数，

所以，解得，故选：B【答案】B

【变式练习】

1．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为定义在上的偶函数，则，即是R上的偶函