（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型15 利用幂函数的图象和性质比较大小（原卷版）.docxVIP

常考题型15利用幂函数的图象和性质比较大小

1.五个幂函数的性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝

y＝x－1

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

{x|x≠0}

值域

R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

{y|y≠0}

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

增

在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减

增

增

在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减

2.一般幂函数的图象特征

（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．

（2）当α0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α1时，幂函数的（3）当α0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．

（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．

（5）在第一象限，作直线x＝a(a1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

一、利用幂函数的图象和性质比较大小

1.单调性法

同底不同指：利用指数函数单调性进行比较.

同指不同底：利用幂函数单调性进行比较.

2.介值法：既不同底又不同指：常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小.

二、二次函数

1.图象的识别

识别二次函数的图象时，要注意四个方面：一是开口方向；二是对称轴；三是与坐标轴的交点；四是顶点坐标.

2.单调性

1.二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.

2.若已知在区间A上单调递减(单调递增)，则

A?即区间A一定在二次函数图象对称轴的左侧（右侧）.

3.区间最值问题

二次函数(不妨设a0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下.

(1)当∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时，的最小值在顶点处取得，其最小值是=，若≤，则的

最大值为；若，则的最大值为.

(2)当?[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时，在[m，n]上是单调函数.若m，则在[m，n]上是增函数，的最小值是，最大值是；若

n，则f(x)在[m，n]上是减函数，的最小值是，最大值是.

(3)当不能确定对称轴是否属于区间[m，n]时，需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值.

4.恒成立问题

解题方法指导》

1.恒成立的条件是

2.恒成立的条件是

3.≥恒成立≥，≤恒成立≤。

探究一：幂函数的定义域与值域

若,则不等式的解集是

A． B． C． D．

【变式练习】

1．幂函数y=xα中α的取值集合C是{–1，0，，1，2，3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为

A．{–1，0，} B．{，1，2}

C．{–1，，1，3} D．{，1，2，3}

2．已知幂函数的图象过点，则函数的值域为

A． B． C． D．

探究二：幂函数的单调性与奇偶性

“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（????）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【变式练习】

1．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（????）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（????）

A． B． C． D．

探究三：二次函数的单调性及其应用

如果函数对于任意实数t都有，那么（????）

A．f(2)f(1)f(4) B．f(1)f(2)f(4)

C．f(4)f(2)f(1) D．f(2)f(4)f(1)

【变式练习】

1．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

2．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

一、单选题

1．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（????）

A． B． C． D．

2．若函数的图象经过点，则（）

A． B．3 C．9 D．8

3．下列命题正确的是（????）

A．幂函数的图象都经过，两点

B．函数的图象经过第二象限

C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同

D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点

4．已知幂函数的图象经过点，则（????）

A． B． C． D．

5．幂函数在区间上单调递增，则（????）

A．27 B． C． D．

6．不论取任何实数，抛物线的顶点都（????）

A．在直线上 B．在直线上

C．在轴上 D．在轴上

7．已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（????）

A．[4，4] B．[