（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型09 应用基本不等式求最值和证明不等式（原卷版）.docxVIP

常考题型09应用基本不等式求最值和证明不等式

1.如果a，b都是正数，那么a+b2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立。我们称上述不等式为基本不等式，其中a+b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b

2.利用基本不等式求最值时，等号必须取得才能求出最值，若由于定义域或题设的限制使等号不能成立，则要换另一种方法解答，如函数的单调性等。

3.几个常用的重要结论

(1)ba+ab≥2(a与b同号，当且仅当

(2)a+1a≥2(a0，当且仅当a=1时取等号)，a+1a≤-2(a

(3)ab≤a+b22(a，b∈R，当且仅当a=b

(4)(a，b0，当且仅当a=b时取等号)。

考法一：求最值

1.直接法：利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等。

(1)各项或各因式均为正；

(2)和或积为定值；

(3)各项或各因式能取得相等的值。

2.配凑法：在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后利用基本不等式.常用方法有：

(1)加项变换；

(2)拆项变换；

(3)统一换元；

(4)平方后利用基本不等式。

3.常数代换法：若不直接满足应用基本不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，其中常数代换法应用比较广泛，如构造“1”的代换等。

考法二：证明不等式

1.两种常见类型：一是无附加条件的不等式证明；二是有附加条件的不等式证明。

2.要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件。

3.若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，常用常数代换.解题过程中要时刻注意等号能否取到。

探究一：基本不等式求积的最大值

已知，，，则的最大值为___________.

【变式练习】

1．已知，，，则的最大值为________．

2．已知对任意，，恒有成立，则实数a的取值范围为______．

探究二：基本不等式求和的最小值

已知，若，则的最小值为___________．

【变式练习】

1．设关于x的一元二次方程的两个解分别为，则的最小值为___________．

2．已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．

探究三：二次与二次（或一次）的商式的最值

不等式的解集为，则的最大值为____________.

【变式练习】

1．是不同时为0的实数，则的最大值为________．

2．已知，则的最大值为______________;

探究四：利用基本不等式证明不等关系

已知a，b，c均为正实数，求证：

(1)；

(2)．

【变式练习】

1．已知a，b，c均为正实数.

(1)求证：.

(2)若，求证：.

2．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件.

(1)若，则；

(2)若，则.

一、单选题

1．已知，则的最大值为（）

A．2 B．4 C．5 D．6

2．若，则的最大值为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．负实数，满足，则的最小值为（????）

A．0 B． C． D．

4．设正实数、、满足，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

5．已知正实数a，b，c，d满足，则最小值为（????）

A．4 B． C．9 D．10

6．已知为正实数且，则的最小值为（????）

A． B． C． D．3

7．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

8．已知的斜边长为2.则下列关于的说法中，正确的是

A．周长的最大值为 B．周长的最小值为

C．面积的最大值为2 D．面积的最小值为1

二、多选题

9．以下结论正确的是（????）

A．函数的最小值是2；

B．若且，则；

C．的最小值是2；

D．函数的最大值为0．

10．下列说法正确的有（???????）

A．的最小值为2

B．已知，则的最小值为

C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3

D．设x，y为实数，若，则的最大值为

11．下列说法正确的有（????）

A．若，则的最大值是-1

B．若，，都是正数，且，则的最小值是3

C．若，，，则的最小值是2

D．若实数，满足，则的最大值是

三、填空题

12．若实数满足，则的最大值为___________.

13．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.

14．已知，，下面四个结论:

①；②；③若，则；

④若，则的最小值为；

其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)

四、解答题

15．已知x