（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型22 三角函数的图象与性质、函数y=Asin(ωx+φ)（解析版）.docxVIP

常考题型22三角函数的图象与性质、函数y=Asin(ωx+φ)

1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)

函数

图象

定义域

值域

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

对称中心

对称轴方程

无

递增区间

递减区间

无

2.三角函数的周期性

函数

周期

函数

周期

函数

()

()

()

周期

(1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．

(2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．

(3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数()的最小正周期均为．

1.三角函数的奇偶性

三角函数

取何值为奇函数

取何值为偶函数

()

()

()

()

()

(1)函数是奇函数?()，是偶函数?()；

(2)函数是奇函数?()，是偶函数?()；

(3)函数是奇函数?()．

2.三角函数的对称性

(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；

(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；

(3)函数的图象的对称中心由)解得．

3.由的图象变换得到(，)的图象的两种方法

先平移后伸缩先伸缩后平移

探究一：正、余弦、正切函数的图像与性质

已知函数满足关系式，其中，，则在区间内至少有（????）个零点.

A．4 B．6 C．7 D．9

思路分析：

思路分析：

由函数对称性的定义可得，函数的图像关于点对称，关于直线对称；

求得周期的最大值为，再结合三角函数的图像及其性质即可求解.

【答案】C

【详解】由题意得，，可知函数的图像关于点对称，

又有可得函数关于直线对称，

根据正弦函数的周期性，其周期的最大值为，

此时有，（），因为，，

所以，；即或，

所以或；令，得（），

即（），由题意得：，解得，，

所以，共有个值，即或在内存在个零点.

当周期缩小时，对应的零点数必增多，所以在至少有个零点，故选：C.

【变式练习】

1．函数与的图象交于两点，为坐标原点，则的面积为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】令，，解得：或（舍），，或，则或，

不妨令，，则关于点对称，.故选：A.

2．下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：①的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，

但不是周期函数，排除①；

②的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，

最小正周期是，②正确；

③的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，

最小正周期为，③正确；

④的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期为，排除④.

故选：B.

探究二：三角函数的周期性

若函数的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（????）

A． B． C． D．

思路分析：

思路分析：

由题意化简，由函数的最小正周期为1求出，再由三角函数的性质即可得出答案.

【答案】B

【详解】，因为函数的最小正周期为1，所以，所以，所以，令，所以，

令，图象的一个对称中心为.故选：B.

【变式练习】

1．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】解析：由图可知，即，所以．由五点法可得，即．所以．因为，

所以由，得或．

因为，所以满足题意的最小正整数x为2，故选:B．

2．函数的最小正周期是（????）

A． B． C．π D．2π

【答案】C

【详解】，

由，得且可得函数的最小正周期，

但是，当时，，无意义，所以，

又，且对定义域内的任意自变量，也在定义域内.

所以函数的最小正周期.故选：C.

探究三：三角函数的单调性

关于函数，则下列说法正确的是（????）

A．若，则的最小值为

B．函数在区间上单调递减

C．函数的图象与轴的交点为

D．点为函数图象的一个对称中心

思路分析：

思路分析：由正弦函数的图象与性质逐一判断即可

【答案】D

【详解】对于A：由，可知，，

又，故一个是最大值一个是最小值，

所以，所以时，则的最小值为，故A错误；

对于B：当时，，因为在上不单调，故B错误；

对于C：令，则，所以函数的图象与轴的交点为，故C错误；

对于D：若点为函数图象的一个对称中心，则，而当时，，所以点为函数图象的一个对称中心，故D正确；故选：D

【变式练习】

1．下列三个函数中具有性质：，当时，的函数个数（????）

①；②；③（，为常数）.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【详解】对于①，函数，开口向上，令，解得，故当时，，故①符合题意；

对于②，函数，由当时，，则不存在，当时，，故②不符合题意；

对于③，函