（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型23 三角恒等变换（解析版）.docxVIP

常考题型23三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

①两角和与差的正弦公式

②两角和与差的余弦公式

③两角和与差的正切公式

2.二倍角公式

①

②；；

③

3.降幂公式

4.辅助角公式：

(其中)

5.半角公式

（1）.

（2）.

（3）.

6.常用结论

①两角和与差的正切公式的变形：

②

③

④

1.万能公式

（1）（2）（3）其中

2.和差化积公式

3.积化和差公式

4.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．

①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；

②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．

5.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等

6.凑角基本思路

先判断角是否是2倍关系：

（1）若是2倍关系，则单倍角乘以2变成同倍角；

（2）若不是2倍关系，则为同倍角，则采用诱导公式或两角和差公式，将两角进行相加减（异号相加，同号相减）

7.三角函数的简单恒等变换

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点

探究一：两角和与差的三角函数

若，，且，是方程的两个根，则（????）

A． B． C．或 D．或

思路分析：

思路分析：

根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行化简求解即可．

【答案】B

【详解】解：、是方程的两个根，，，

，，即、,，则，则，故选：B．

【变式练习】

1．已知?角满足，则的最小值为（????）

A．2 B．4 C．8 D．18

【答案】C

【详解】，，

、均为锐角，则，，

，

当且仅当时，等号成立．的最小值为8．故选：C

2．已知函数．设，则的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，，

所以，，所以，，

所以，因为，所以，，

所以，故选：B

探究二：二倍角公式和半角公式的应用

已知，且，则等于（????）

A．0 B． C． D．2

思路分析：

思路分析：

根据余弦的二倍角公式以及可得，进而可得，代入即可求值.

【答案】C

【详解】由得，因为，所以，进而得，故，所以，

故选：C

【变式练习】

1．，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】．故选：D.

2．已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由，得，，，，所以.故选：A.

探究三：万能公式的应用

已知锐角满足，则（????）

A． B． C． D．

思路分析：

思路分析：

求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算．

【答案】C

【详解】由得，所以，

又，所以，

由，解得，或（舍去，此时不是锐角），

，是锐角，，，，则，

所以．

故选：C．

【变式练习】

1．已知，，则（????）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【详解】由①，

，所以②，

由①②可得③，由①③得，，所以角为第二象限角，

所以为第一、三象限角，，故选A.

2．已知直线的倾斜角为，则的值是．

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：，选C.

探究四：降幂公式的应用

已知函数，则的最小正周期为（????）

A． B． C． D．

思路分析：

思路分析：

利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.

【答案】B

【详解】由题设，，

所以最小正周期为.故选：B

【变式练习】

1．已知，，则=（????）

A．2 B．-2 C． D．

【答案】D

【详解】因，，则，

所以.故选：D

2．若，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】∵所以，又因为，，

所以，即，所以，又因为，

所以，．故选：C．

探究五：三角恒等式的化简与求值问题

已知，均为锐角，，则＝______．

思路分析：

思路分析：

由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．

【答案】

【详解】，都是锐角，，又，，所以，，

则．故答案为：.

【变式练习】

1．已知，则的值是____.

【答案】

【详解】，

两边平方，可得，