因式分解2原卷版 初中数学竞赛讲义.pdfVIP

初中数学竞赛

因式分解(二)

【知识概述】

上一讲主要介绍了因式分解的三种拓展，分别为换元法、双十字相乘、待定系数法.本

讲主要介绍另一种因式分解常用方法和技巧，即主元法，以及因式分解在各种问题中的应用。

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，对于培养学生的观察、思考、解

运算和综合分析解决问题的能力都有着十分独特的作用.

【知识结构】

模块一主元法

【知识精要】

所谓主元法就是在因式分解含多个字母的代数式时，选定一个字母为主元(未知数),

将其他字母看作常数，把代数式整理为关于主元的降幂排列(或升幂排列),然后再用所学

过的公式法、分组分解法、十字相乘法等进行因式分解.

用主元法因式分解的关键在于如何选取“主元”,通常有以下几个原则：

(1)低次做主元：未知数次数有高有低时，通常选取低次(最高不超过2次)的字母为主

元，便于分清结构，因式分解；

(2)常量做主元：有些结构复杂的多项式若反客为主，选取不常作为未知数的字母为主元，

有时更能简化原式结构；

(3)对称元做主元：当多项式中各变元依次互换后，所得式子与原式相同，这样的对称式

中任何字母均可作为主元；

此外若所有字母地位几乎对等，项数、次数差不多，此时一般也可选取任何字母作为主

元，例如能用双十字相乘分解的多项式，也可用主元法分解.

用主元法解决问题可以排除多个字母间的干扰，简化多项式的结构.

【典型例题】

1.因式分解：x?-2xy+x?y2-2x2+y2-2x2y2+2y+1.

【名师点拨】原多项式为包含x、y两个变元的六次八项式，结构较为复杂，很难直接

因式分解，注意到x最高次为4次，而y最高次为2次，因此可考虑从低次的y入手，

将y看作主元，x看作常量，整理成关于y的二次式，从而简化多项式的结构.

【答案】

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2.因式分解：

(1)x3+(1-m)x2-2mx+m2;

(2)x3+(2a+1)x2+(a2+2a-1)x+a2-1.

【名师点拨】考查低次做主元.

【答案】

3.因式分解：

(1)x2+xy-2y2-x+7y-6;

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.

【名师点拨】考查主元法.

【名师点拨】考查含多个字母的主元法.

【答案】(bx-b-ay-a)(by-b+ax+a).

模块二因式分解的应用

【知识精要】

因式分解作为处理代数式的常用工具，在许多数学问题中都有应用。

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数论是研究整数相关问题的数学分支，在中学课内阶段主要对应六年级同整数相关的内

容，在自招和竞赛中有较多的涉及.因式分解在解决数论中的整除性，素数和合数，完全平

方数等相关的问题中有较多的应用.

此外，因式分解在其他与代数式有关的实际问题中也有广泛应用。

【典型例题】

5.(1)证明：4??+545是合数.

(2)2-1能被500至600中的若干个数整除，试写出三个这样的数.

【答案】(1)略；(2)511,513,545.

【解析】(1)

6.证明具有如下性质的自然数a有无穷多个，对于任意的自然数n,z=n?+a都不是素

数.

【答案】略.

7.已知a=20012+20012×20022+20022,求证：a是一个完全平方数.

【名师点拨】对于这类问题可以先从比较小的数开始发现规律，从而发现证明的逻辑.

如2+I2×22+22=9=(1×2+1)2;

22+22×32+32=49=(2×3+1);

32+32×42+42=169=(3×4+12;

…

即可.

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【答案】略.

8.(1)已知n是正整数，且n?-16n2+100是质数，求n的值；

(2)已知a是正整数，且a3+2a2-12a+15表示一个质数，求这个质数.

【答案】(1)3;(2)7.

9.a,b,c,d是四个整数，且使得

数，求证：是合数.

【答案】略.

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10.已知a,b,c,且a2+b2+c2=1,,求a+b+c

【答案】0,-1,1.

11.(1)在1～100之间