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初中数学竞赛

因式分解(一)

【知识概述】

把一个多项式在一个范围化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫

作分解因式，是中学数学中最重要的恒等变形之一，是我们解决许多数学问题的有力工具.

本讲主要介绍因式分解的三种常见方法，分别为换元法、双十字相乘、待定系数法，阐

述常见的不同类型的多项式如何因式分解.

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，对于培养学生的观察、思考、解

运算和综合分析解决问题的能力都有着十分独特的作用.既可以复习整式的乘法运算，又可

为接下来学习分式、根式打好基础.

【知识结构】

模块一：换元法

【知识精要】

换元法：

“换元”是指字母代式，即用新的“元”代替原式中比较复杂的代数式，对含新“元”

的代数式按要求因式分解，再将其所代替的式子换回来，这种方法叫换元法，又叫设辅

助未知数法.

因式分解中，通常对重复出现的相同部分代数式进行换元，步骤如下：

(1)将多项式中的部分代数式看作整体，统一替换成新的变元；

(2)整理关于新元的多项式，并因式分解；

(3)将新元替换回初始的代数式，整理并进行后续分解.

如：对(x2+x+1)(x2+x+2)-12因式分解，

可令y=x2+x,

则原式=(y+1)(y+2)-12

=y2+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x2+x+5)(x2+x-2)

=(x2+x+5)(x-1)(x+2)·

换元法的作用是使代数式得到简化，让各项之间的关系容易看清，便于分解.

在一些复杂的问题中，将多项式中某些部分看成一个整体，用换元法引进新的变元，可

以避免混乱，减少多项式的项数和次数，使不熟悉转化为熟悉，使复杂转化为简单，从

而用已经学过的熟悉或简单的方法来解决问题.

它是字母表示数这一数学思想的延续和发展，在解题和证明中经常起到杠杆和桥梁的作

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用.

【典型例题】

1.因式分解：

(x2+2x+3)(x2+4x+3)-3x2.

【名师点拨】本题若全部展开再对x因式分解，由于次数过高相对比较繁琐.因此

观察原式可考虑用换元法，其中不必将原式中的元都用新元代换，原式中的变元和

新变元可以一起变形.可以整体换元，也可部分换元，亦可用取平均数的方法换元，

方法不唯一.

【答案】(x2+x+3)(x2+5x+3)·

【解析】解法一：

令x2+3=m,

则原式=(m+2x)(m+4x)-3x2

=m2+6xm+5x2

=(m+x)(m+5x)

=(x2+x+3)(x2+5x+3);

解法二：

令x+2x+3=附，

则原式=m(m+2x)-3x2

=m2+2xm-3x2

=(m-x)(m+3x)

=(x2+2x+3-x)(x2+2x+3+3x)

=(x2+x+3)(x2+5x+3):

解法三：

令x+3x+3=解，

则原式=(m-x)(m+x)-3x2

=m2-4x2

=(m+2x)(m-2x)

=(x2+x+3)(x2+5x+3)·

2.因式分解：

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(1)(x2+3x-3)(x2+3x+4)-8:

(2)(x2+4x+6)(x2+6x+6)+x2:

(3)(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.

【名师点拨】考查换元法因式分解.

(3)(x2+5x+8)(x+2)(x+4)·

【解析】(1)令x2+3x=y,

则原式=(y-3)(y+4)-8

=y+y-20

=(y-4)(y+5)

=(x2+3x-4)(x2+3x+5)

=(x-1)(x