2025年高三数学秋季开学摸底考02（全国通用）数学试题（答案及评分标准）.docxVIP

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（新高考通用）

数学·答案及评分参考

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1

2

3

4

5

6

7

8

C

C

A

A

B

D

A

D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9

10

11

ABD

AC

ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．

12．

13．31

14．2，

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）由题意先求首项，进而得；

（2）由（1）先求，进而得，最后利用分组求和即可.

【详解】（1）由题意有，

又因为，，成等比数列，

所以，(3分)

即，（5分）

化简整理得，解得，（7分）

所以.(8分)

（2）由（1）有，

所以，（10分）

所以

.（13分）

16．（15分）

【答案】(1)，线性相关程度较高；(2)

【分析】（1）根据相关系数公式，求出相关系数，再根据系数大小判断相关程度高不高.

（2）根据独立事件的乘法公式，求出分布列，求出期望.

【详解】（1）由题可知，

，

，

则相关系数，（5分）

因为，所以与的线性相关程度较高．（7分）

（2）设操作成功的次数为，则的所有可能取值为0，1，2．（8分）

，

，

，

所以．（15分）

17．（15分）

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)

【分析】（1）要证明线面平行，需在平面内找到一条线段与平行即可.

（2）首先建立空间直角坐标系，然后将点的坐标表示出来，然后求出平面的法向量和直线的方向向量，进而可根据向量夹角的余弦公式即可求得直线与平面的正弦值.

（3）根据（2）中求得的平面的法向量，根据点到平面的距离公式即可求得结果.

【详解】（1）取的中点，连接.

则.

而底面为矩形，是的中点，

所以.

所以，所以四边形为平行四边形，（3分）

所以，又平面，而不在平面内，

所以平面.（5分）

（2）因为平面，四边形为矩形，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则，.

所以.

设平面的一个法向量为，

则，令，则.

所以平面的一个法向量为，（9分）

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.（12分）

（3）因为，平面的一个法向量为.

所以点到平面的距离为：

.（15分）

18．（17分）

【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）或．

【分析】（1）根题意由向量的运算得，即满足椭圆的定义，即可求出，进而得椭圆的方程；

（2）（ⅰ）设的方程为，与椭圆方程联立消元得，由韦达定理得，若到直线和的距离相等，则直线平分，即直线与的斜率之和为0，代入韦达定理验证即可；

（ⅱ）由（ⅰ）知直线平分，即，由的面积等于的面积，得，进而得，即，得在线段的垂直平分线上，由的垂直平分线为，代入椭圆方程即可求解.

【详解】（1）根据题意有，，即

，则，则的轨迹是椭圆，

，，所以，．所以的方程为．（4分）

（2）（ⅰ）因为椭圆的长轴右端点横坐标为，

所以的斜率一定存在（否则与椭圆没有交点）

设的方程为，

所以，

其中．

所以，（7分）

设，．

则，，（8分）

若到直线和的距离相等，则直线平分，且易知轴，

所以只需满足直线与的斜率之和为0．

设，斜率分别为，，则：

，（10分）

代入，．

有，故命题得证．（12分）

（ⅱ）由（ⅰ）知直线平分，即，

因为的面积等于的面积，

故，即，故．

故，，

在线段的垂直平分线上．（15分）

易知线段的垂直平分线为，与的方程联立有，

故的坐标为或．（17分）

19．（17分）

【答案】(1)；(2)2；(3).

【分析】（1）由偶函数的性质得到，结合已知即可得；

（2）由题设，讨论的范围，结合导数、零点存在性定理研究的零点分布情况，即可得；

（3）讨论当、及、，结合，并应用导数研究的单调性，由不等式恒成立确定参数范围即可.

【详解】（1）由，则，

所以恒成立，又，则.(3分)

（2）由题设，则，（4分）

当时在上单调递增，，无零点；（5分）

令，则，

当时，，

所以在上单调递增，，

所以，所以存在，满足，（7分）

时，时，为函数极小值点，

，所以在时存在唯一零点.（8分）

当时，，则，当时，，

综上，时，恒成立，

所以函数有2个零点.（10分）

（3）当时，，故，

所以在上单调递增，则，

当时，，若，则成立；

若，令，

则在上单调递增，(12分)

又，

存在，使，可得，

若，则在上单调递减；

若，则在上单调递增.（14分）

所以，解得.

此时，所以，从而.

所以的取值范围为.（17分