2025年高三数学秋季开学摸底考03（全国通用）数学试题（考试版A4）.docxVIP

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．考试范围：高考全部内容

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若，则（）

A． B． C． D．

3．已知是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（）

A． B． C． D．

4．已知集合，，则（）

A． B． C． D．

5．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则或与相交

6．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（）

A．2 B． C． D．

7．若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（）

A．2 B． C．4 D．

8．已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（）

A． B．

C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知向量，则（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则在方向上的投影向量的坐标为

10．下列选项正确的是（）

A．若随机变量，且，则

B．一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92

C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8

D．已知回归直线方程为，若样本中心为，则样本点处残差为

11．已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（）

A． B．

C．离心率 D．若，则

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则____________．

13．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________．

14．已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则____________________.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.某调查小组随机抽取100位市民，将市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下：

看过

没看过

合计

不超过35周岁

30

20

50

超过35周岁

15

35

50

合计

45

55

100

(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联？

(2)根据列联表的信息，表示“选到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，表示“选到的市民超过35周岁”，求和的值；

(3)现从参与调查的不超过35周岁的市民中，按是否看过用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中，看过《哪吒之魔童降世2》的人数的概率分布和数学期望.

附：，其中.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，且．

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的正弦值．

17．（15分）已知数列的前n项和为，且，，

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和；

(3)设，记数列的前n项和为，证明：．

18．（17分）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点.

（i）若为原点，求面积的最大值；

（ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值.

19．（17分）已知函数．

(1)当时，求的最小值；

(2)①求证：有且仅有一个极值点；

②当时，设的极值点为，若．

求证：．

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷

数学·答案及评分参考

一、选择题：本题共8小题