2025年高三数学秋季开学摸底考数学试题（答案及评分标准）.docxVIP

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷

数学·答案及评分参考

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1

2

3

4

5

6

7

8

B

A

D

A

B

A

A

C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9

10

11

AD

ACD

BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．【答案】;13．【答案】;14．【答案】

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．【详解】解：（1）易得：

购买华为

购买其他

总计

年轻用户

12

28

40

非年轻用户

24

36

60

总计

36

64

100

表格填对：···········4分

由列表可得············3分

故没有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关系.···········1分

（2）利用分层抽样抽取6个购买华为手机的用户，易知其中有2个年轻用户，4个非年轻用户，不妨用，表示两个年轻用户，用，，，表示非年轻用户，

现从中任选两人，则共有，，，，，，，，，，，，，，，15种可能，

其中满足要求的有6种，由古典概型可知.···········5分

16．（15分）【答案】(1)；(2)

【分析】（1）由，的关系即可求解，

（2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解；

【详解】（1）当时，，整理得，当时，有.

数列是以为公比，以为首项的等比数列，所以．···········4分

（2）当时，

，所以，···········3分

所以，···········2分

令，其前项和为，

∴①

∴②···········3分

得：.···········2分

∴.令，其前项和易知为：，···········1分

所以

17．（15分）【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【分析】（1）证明与垂直，则得线面垂直，然后可得面面垂直；

（2）以为轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角；

（3）设，这样求得平面和平面的法向量，用向量法求二面角，从而求得，可得的长．

【详解】（1）证明：∵，，为的中点，∴四边形为平行四边形，∴

∵，∴，即

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，∵平面，∴平面平面···········5分

（2）∵，为的中点，∴

∵平面平面，且平面平面，平面，

∴平面，如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，

∵是的中点，∴，，

设异面直线与所成角为，，

∴异面直线与所成角的余弦值为．···········5分

（3）解：由（2）知平面的法向量为，

设，且，从而有，

又，设平面法向量为，

由及，，可取．···········3分

∵二面角为，∴，∴，∴．···········2分

18．（17分）【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析，

【分析】（1）利用椭圆的定义和焦距的性质求出基本量，得到椭圆方程即可.

（2）利用圆的性质得到，再结合三角形两边之和大于第三边的性质进行放缩求解最值即可.

（3）联立方程组结合韦达定理得到，进而表示出，再结合给定条件进行化简，证明点在定直线上即可.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为，因为，所以，

由椭圆的定义，解得，

得到，故的方程为.···········3分

（2）因为的右焦点，

圆的圆心，半径，

显然椭圆与圆没有交点，因为点在圆上，所以，

于是，

当且仅当分别是线段与椭圆，圆的交点时取等号，故的最小值为.·······5分

（3）如图，设，

因为直线，所以点，联立消去得.

所以，因为，···········4分

且直线斜率的倒数成等差数列，所以，

所以，即，

将代入上述等式可得，

若，则点在直线上，与已知矛盾；

故，

整理可得，

可得，即，

即对任意的恒成立，

得到，解得或，由于的斜率不为0，得到，故，

故点在定直线上.···········5分

19．（17分）【答案】(1)；(2)；证明见解析.

【分析】（1）利用分类讨论，再求导研究单调性，即可求出最小值，从而可求解的取值范围；

（2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值；

（ii）利用第（i）问的结论，从而把要证明的不等式转化为，再作差构造函数求导来证明即可.

【详解】（1）因为函数的定义域为，

当时，恒成立，

当时，，所以此时不恒成立，

当时，求导得，

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增；

所以，

即不等式恒成立，等价于，

综上，的取值范围为.···········5分

（2）（i）当时，，则，

当时，，所以在上单调递减；

当时