2025年高三数学秋季开学摸底考03（全国通用）数学试题（答案及评分标准）.docxVIP

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷

数学·答案及评分参考

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1

2

3

4

5

6

7

8

C

A

D

B

D

D

C

B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9

10

11

AD

ACD

ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．___2_____；13．__________；14．______/____

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

【答案】（1）零假设：假设市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》无关联，

根据表中数据，计算得，…………3分

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联.…………4分

（2），…………6分

.…………8分

（3）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人，

可得的所有可能取值为1，2，3，

此时，，，…………11分

则的分布列为：

1

2

3

所以.…………13分

16．（15分）

【答案】（1）由题意，则，

因为，所以，…………1分

因为平面平面，平面平面，

且平面，

所以平面，…………3分

因为平面，所以，

且平面，所以平面，…………5分

又平面，所以平面平面；…………6分

（2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系，

则，…………7分

所以，，

设平面的一个法向量，

则，令，得，…………10分

设平面的法向量，

则，令，得，…………13分

设平面与平面的夹角为，则，…………14分

所以平面与平面夹角的正弦值为．…………15分

17．（15分）

【答案（1）因为，

所以，解得，…………1分

又，

所以，即，

所以，即，

因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，…………3分

所以，即．…………4分

（2）因为，

所以，①

，②…………5分

－②得，…………8分

所以．…………9分

（3）因为，…………11分

所以，…………13分

易知是增函数，所以，…………14分

所以．…………15分

18．（17分）

【答案】（1）由对称性知，和在椭圆C上，所以，…………2分

所以，C的方程为.…………4分

（2）设直线的方程为，点，，

由消去得：，

则，…………6分

则或.，…………8分

面积…………9分

令，则，，

当且，即时，面积的最大值为.…………11分

（ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以，

所以点在线段的垂直平分线上，所以.…………12分

于是，

，.

所以，…………14分

于是，

因为，

所以.

所以的值1.…………17分

19．（17分）

【答案】（1）由，得，…………1分

设，

当时，，，

令，则，

所以函数在上单调递增，又，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以的最小值是；…………5分

（2）①由（1）知：，

因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，…………7分

又，，

所以，…………9分

所以存在唯一的变号零点，即有且仅有一个极值点；…………10分

②由①知，有且仅有一个极值点，且，

当时，，，

由①知，，

要证明，

只需证明，

而，那么，，…………11分

所以，

令，则，

令，则，…………12分

当时，

因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，又，

所以，

所以在上单调递增，即在上单调递增，又，

所以，

所以在上单调递增，所以，…………14分

当时，，

，…………16分

综上所述，当时，.…………17分