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初中数学有理数乘除法教程

同学们，在我们的数学学习旅程中，有理数的运算可谓是基石般的存在。继有理数的加减法之后，乘除法运算为我们处理更复杂的数量关系提供了有力的工具。学好这部分内容，不仅能提升我们的计算能力，更能培养我们的逻辑思维和细心程度。今天，我们就一同深入探讨有理数乘除法的奥秘。

有理数的乘法

有理数的乘法，乍看之下似乎比加法复杂，但只要掌握了其中的“门道”——也就是符号法则和绝对值运算，就能化繁为简，迎刃而解。

乘法法则的核心要义

有理数乘法的法则，可以归纳为两点：

1.符号法则：两数相乘，同号得正，异号得负。

这里的“同号”指的是两个数都是正数，或者都是负数；“异号”则指一个正数和一个负数。这条法则是有理数乘法区别于小学所学乘法的关键，大家务必牢记。

2.绝对值法则：任何数与零相乘，都得零。几个不等于零的数相乘，积的绝对值等于各因数绝对值的乘积。

简单来说，进行有理数乘法运算时，我们先根据因数的符号确定积的符号，再将它们的绝对值相乘。

乘法运算的步骤

进行两个有理数相乘的具体步骤可以分为：

1.确定积的符号：观察两个因数的符号，按照“同号得正，异号得负”的原则，判断出积的正负。

2.计算积的绝对值：将两个因数的绝对值相乘，得到的结果就是积的绝对值。

3.写出最终结果：将第一步确定的符号与第二步计算的绝对值组合起来，就是这两个有理数相乘的结果。

乘法例题解析

让我们通过几个例子来熟悉这个过程：

例1：计算(+3)×(+4)

分析：两个因数都是正数（同号），所以积为正。

绝对值相乘：3×4=12。

结果：(+3)×(+4)=+12，通常写作12。

例2：计算(-5)×(-2)

分析：两个因数都是负数（同号），所以积为正。

绝对值相乘：5×2=10。

结果：(-5)×(-2)=+10，通常写作10。

例3：计算(+6)×(-7)

分析：一个正数一个负数（异号），所以积为负。

绝对值相乘：6×7=42。

结果：(+6)×(-7)=-42。

例4：计算0×(-8)

分析：任何数与零相乘都得零。

结果：0×(-8)=0。

有理数的除法

有理数的除法是乘法的逆运算，其运算规则在符号处理上与乘法类似，理解起来并不困难。

除法法则的核心要义

有理数除法的法则同样可以从符号和绝对值两方面来理解：

1.符号法则：两数相除，同号得正，异号得负。这条与乘法的符号法则完全一致。

2.绝对值法则：零除以任何一个不等于零的数，都得零。除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。

这里的“倒数”概念非常重要。乘积是1的两个数互为倒数。例如，2的倒数是1/2，-3/4的倒数是-4/3。需要特别注意的是，零没有倒数，因为任何数与零相乘都不可能得到1。

除法运算的步骤

进行两个有理数相除的具体步骤可以分为：

1.确定商的符号：观察被除数和除数的符号，按照“同号得正，异号得负”的原则，判断出商的正负。

2.将除法转化为乘法：将除数取倒数，然后将除法运算转化为乘法运算，即“除以一个数等于乘以它的倒数”。

3.按乘法法则计算：按照有理数乘法的法则进行计算，即计算绝对值的乘积，并带上第二步确定的符号。

除法例题解析

例5：计算(+16)÷(+2)

分析：同号相除，商为正。

转化为乘法：16×(1/2)。

计算：16×1/2=8。

结果：(+16)÷(+2)=8。

例6：计算(-18)÷(-3)

分析：同号相除，商为正。

转化为乘法：(-18)×(-1/3)。

计算绝对值：18×1/3=6，符号为正。

结果：(-18)÷(-3)=6。

例7：计算(+25)÷(-5)

分析：异号相除，商为负。

转化为乘法：25×(-1/5)。

计算绝对值：25×1/5=5，符号为负。

结果：(+25)÷(-5)=-5。

例8：计算0÷(+9)

分析：零除以任何不等于零的数都得零。

结果：0÷(+9)=0。

（注意：0不能作为除数，例如9÷0是没有意义的。）

运算技巧与注意事项

1.多个有理数相乘：当有多个不为零的有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定。负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负。积的绝对值为各因数绝对值的乘积。若其中有一个因数为零，则积为零。

例如：(-1)×(-2)×(-3)×(-4)，负因数有4个（偶数），积为正；1×2×3×4=24，所以结果为24。

又如：(-1)×2×(-3)×(-4)，负因数有3个（奇数），积为负；1×2×3×4=24，所以结果为-24。

2.乘除混合运算：在没有括号的情