n次方根与分数指数幂+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.pptxVIP

第四章指数

4.1.1n次方根与分数指数幂

数学

学习目标

①理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念.

②掌握根式与分数指数幂的互化.

③掌握有理数指数幂的运算性质.

学习重难点

·重点：

理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质；有理数指数幂的含义及运算性质.

·难点：

根式与分数指数幂的关系的理解与运用.

牛顿是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数

学上的贡献吗?

他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为

数学家将aa,aaa,aaaa,…写成a²,a³,a⁴,…,

所以可将√a²,√a³,√a⁴,…写成

将,…写成a-1,a-²,a-³,…”,这是牛顿首次使用任意实数指数.

课堂导入

情境

课堂导入

公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学

派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致

了数学史上第一个无理数√2的诞生.

思考1边长为1的正方形的对角线长多少?

课堂导入

思考24的平方根是什么?任何一个实数都有平方根吗?一个

数的平方根有几个?-27的立方根是什么?任何一个实数都

有立方根吗?一个数的立方根有几个?

课堂探究

归纳新知

如果x²=a,那么x叫做a的平方根，例如，±2就是4的平方根，

如果x³=a,那么x叫做a的立方根，例如，2就是8的立方根，

类似的，(±2)⁴=16,我们可以把±2叫做16的4次方根，2⁵=32,2

叫做32的5次方根?

n次方根的定义：

一般地，如果xn=a,那么x叫做a的n次方根，其中n1且n∈N*.

课堂探究

【合作探究】

求值：

(1)-8的立方根=-2,

(2)16的4次方根=±2,(3)32的5次方根=2,(4)-32的5次方根=-2,(5)0的7次方根=0,(6)a⁶的立方根=a².

课堂探究

思考3(1)一般地，当n为奇数时，实数a的n次方根存在吗?有

几个?如关于x的方程x³=a,x⁵=a,分别有解吗?

(2)一般地，当n为偶数时，实数a的n次方根存在吗?有几个?如

关x于的方程x⁴=a,x⁶=a,分别有解吗?有几个解?

(1)当n为奇数时，实数a的n次方根存在，方程有一个解；

(2)当n为偶数时，当a0,方程有两个解；当a=0,方程有一个解；当a0,方程无解.

课堂探究

思考4负数有没有偶次方根?0的n次方根是多少?

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作“√0=0.

根式的定义：

√a式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.读法：a的n次方根；n次根号下a;a开n次方.

归纳新知

课堂探究

课堂探究

【例1】

(1)10的平方根为_±√10

—243的5次方根为—3.

(2)(多选题)下列四个命题中正确的是(BD)

A.正数的偶次方根是一个正数B.正数的奇次方根是一个正数

C.负数的偶次方根是一个负数D.负数的奇次方根是一个负数

根式的性质：

(1)负数没有偶次方根.

(2)0的任何次方根都是0,记作“√0=0.

(3)(√a)n=a(n∈N*,且n1).

(4)√an=a(n为大于1的奇数).

(n为大于1的偶数).

归纳新知

课堂探究

课堂探究

【例2】

求下列各式的值.

(1),(2)√(-10)²,(3)√π-4)⁴,(4)√(a-b)².

解(1)

(2)√(-10)²=1-10|=10.

(3)=π-4|=4—π.

课堂探究

【变式训练1】

化简√(x+3)²-³√(x-3)³.

解原式=|x+3|—(x-3),

当x≥-3时，原式=6;

当x—3时，原式=-2x.

课堂探究

【合作探究】

(1)观察下列式子的变形：

你能得出什么结论?

课堂探究

(2)当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可

以表示为分数指数幂的形式呢?观察下列式子：

(c0).

这些式子正确吗?

分数指数幂的性质：

(1)规定正分数指数幂的意义，即,m∈N*,n1),例如

(2)规定负分数指数幂的意义，即

注：0的正分数指数幂等于0,O的负分数指数幂没有意义.

(3)整数指数幂的