第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题（知识+真题+3类高频考点) ( 精讲）（原卷版）-A4.docxVIP

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第04讲利用导数研究不等式恒成立问题

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：基础知识 1

第二部分：高考真题回顾 2

第三部分：高频考点一遍过 2

高频考点一：分离变量法 2

高频考点二：分类讨论法 5

高频考点三：等价转化法 7

第一部分：基础知识

1、分离参数法

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．

③求最值.

2、分类讨论法

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．

3、等价转化法

当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.

第二部分：高考真题回顾

1．（2023·全国·新课标Ⅰ）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

2．（2023·全国·甲卷文）已知函数

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：分离变量法

典型例题

例题1．（2023·全国·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（????）

A．2 B． C．3 D．

例题2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是.

例题3．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）已知函数，

(1)若，求函数在处的切线方程：

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

例题4．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）设函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围.

例题5．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数.

(1)求的极值；

(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

练透核心考点

1．（2023·四川成都·一模）若恒成立，则实数的最大值为（????）

A． B．2 C．1 D．

2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在处的切线与直线平行．

(1)求的单调区间；

(2)当时，恒有成立，求k的取值范围．

3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数．

(1)若，求在处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数b的取值范围．

4．（2024高二下·上海·专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）.

(1)当时，试求函数在上的最值；

(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数，其中．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)记为的导函数，若对，都有，求的取值范围．

高频考点二：分类讨论法

典型例题

例题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)若的零点也是其极值点，求；

(2)若对所有成立，求的取值范围．

例题2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数

(1)若，求函数在处的切线方程；

(2)求的单调区间；

(3)若在区间上恒成立，求a的最小值．

例题3．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知函数，其中是自然对数的底数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求在的最值；

(3)若函数在上是严格递增函数，求的取值范围.

练透核心考点

1．（2024高三·全国·专题练习）

(1)讨论函数的单调性

(2)时，与总是前者小于后者，求a的范围．

2．（21-22高三上·河南·期末）已知函数．

(1)若的图象在点处的切线平行于轴，求的单调区间；

(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围．

高频考点三：等价转化法

典型例题

例题1．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）已知函数，.

(1)若的最大值是0，求m的值；

(2)若对于定义域内任意x，恒成立，求m的取值范围.

例题2．（2024·广西南宁·一模）已知函数．

(1)若，求的值；

(2)当时，证明：．

例题3．（23-24高三上·山东枣庄·期中）已知函数，．

(1)若的最大值是0，求的值；

(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．

练透核心考点

1．（23-24高二上·江苏南通·期末）设，函数，．

(1)若，求的最小值与的最大值；

(2)若在上恒成立，求．

2．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)已知，当时，证明：．

3．（23-24高三上·天津·