湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次段考（10月）数学试卷（原卷版）-A4.docxVIP

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2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）第一次段考

数学试卷（10月份）

一?单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数，则（）

A. B. C.3 D.5

2.无论为何值，直线过定点（）

A. B. C. D.

3.在平行四边形中，，，，则点的坐标为（）

A. B. C. D.

4.已知，则（）

A. B. C. D.

5.直线关于对称的直线方程为（）

A. B.

C. D.

6.已知椭圆：的离心率为，则（）

A. B.或 C.8或2 D.8

7.已知实数满足，则的范围是（）

A. B. C. D.

8.已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（）

A. B. C. D.

二?多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线：，圆：，为坐标原点，下列说法正确的是（）

A若圆关于直线对称，则

B.点到直线的距离的最大值为

C.存在两个不同的实数，使得直线与圆相切

D.存在两个不同的实数，使得圆上恰有三个点到直线的距离为

10.已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（）

A.曲线的方程为

B.曲线的方程为

C.过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为

D.曲线上的点到直线的距离的最大值为

11.在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（）

A.与所成角的余弦值为

B.过，，三点正方体的截面面积为3

C.当在线段上运动时，最小值为3

D.若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.通过科学研究发现：地震时释放能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．已知2011年甲地发生里氏8级地震，2019年乙地发生里氏6级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则______．

13.直线的倾斜角的取值范围是______.

14.如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知两圆和．求：

（1）取何值时两圆外切？

（2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

16.在ΔABC中，内角的对边分别为.已知

（1）求的值

（2）若，求ΔABC的面积.

17.如图，在四棱锥中，面．，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点

（Ⅰ）求证：平面．

（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由．

18.某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.

（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数；

（2）为了提升同学们羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；

（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明：.

19.已知动直线与椭圆C:交于，两个不同点，且的面积=,其中为坐标原点.

（1）证明和均为定值;

（2）设线段的中点为，求的最大值；