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高中数学集合专题知识点总结

集合作为高中数学的开篇内容，不仅是整个数学体系的基础语言，也为后续函数、不等式等知识的学习提供了必要的工具。理解集合的核心概念、掌握其表示方法及运算规则，是学好高中数学的第一步。本文将系统梳理集合专题的关键知识点，力求条理清晰，兼具理论深度与实用指导意义。

一、集合的基本概念

1.1集合与元素的定义

集合是指具有某种特定属性的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。这些对象称为该集合的元素。通常用大写拉丁字母如A,B,C...表示集合，用小写拉丁字母如a,b,c...表示集合中的元素。

1.2元素与集合的关系

元素与集合之间存在“属于”和“不属于”两种关系。如果元素a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果元素a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A。这种关系是个体与整体的关系，具有明确的确定性。

1.3集合的三大特性

集合中的元素必须满足以下三个基本特性：

*确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否属于这个集合是明确的，不存在模棱两可的情况。例如，“所有高个子的人”不能构成集合，因为“高个子”没有明确标准。

*互异性：集合中的任意两个元素都是不同的。即在同一个集合中，不能重复出现同一个元素。例如，集合{1,2,2,3}应简化为{1,2,3}。

*无序性：集合中的元素排列没有顺序之分。例如，集合{1,2,3}与{3,2,1}表示同一个集合。

二、集合的表示方法

2.1列举法

将集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。适用于元素个数有限且较少的集合，或元素个数无限但有明显规律的集合。

*例如：由数字1、2、3组成的集合可表示为{1,2,3}；正整数集可表示为{1,2,3,...}。

*使用列举法时，需注意元素间用逗号分隔，且遵循互异性和无序性。

2.2描述法

通过描述集合中所有元素所共同具有的特征性质来表示集合的方法。一般形式为{x|P(x)}，其中x是集合的代表元素，P(x)是描述元素x满足的条件或具有的性质。

*例如：不等式2x-13的解集可表示为{x|2x-13}；所有偶数组成的集合可表示为{x|x是偶数}或{x|x=2k,k∈Z}。

*使用描述法时，要明确代表元素是什么（如数、点、图形等），以及元素满足的具体条件。例如，{x|y=x2}表示函数y=x2的定义域，而{y|y=x2}表示其值域，两者意义不同。

2.3图示法（韦恩图）

用平面上封闭曲线的内部（通常是圆形或椭圆形）来直观表示集合及其关系的方法，称为韦恩图（VennDiagram）。这种方法不用于严格的集合表示和运算书写，但在理解集合关系、解决集合交并补运算问题时具有很强的直观辅助作用。

三、集合间的基本关系

3.1子集

如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A?B（或B?A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。

*规定：空集是任何集合的子集，即??A（A为任意集合）。

*任何一个集合都是它本身的子集，即A?A。

3.2真子集

如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A?B（或B?A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。

*空集是任何非空集合的真子集，即??A（A为非空集合）。

3.3集合相等

如果集合A与集合B中的元素完全相同，那么称集合A与集合B相等，记作A=B。

*集合相等的本质是：A?B且B?A。这是证明两个集合相等的重要依据。

3.4注意事项

*区分元素与集合、集合与集合之间的关系。元素与集合是“属于”或“不属于”的关系（∈或?），集合与集合是“包含于”或“不包含于”的关系（?、?、?、?或?）。

*符号“∈”和“?”不能混用。例如，0∈{0}是正确的，而0?{0}或{0}∈{0,1}则是错误的。

四、集合的基本运算

4.1交集

由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”。

*定义式：A∩B={x|x∈A且x∈B}。

*性质：

*A∩A=A

*A∩?=?

*A∩B=B∩A

*若A?B，则A∩B=A

4.2并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”。

*定义式：A∪B={x|x∈A