1.5.1 全称量词与存在量词课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.pptxVIP

1.5全称量词与存在量词

1.5.1全称量词与存在量词

【课程标准要求】

1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，提升数学抽象的

核心素养.2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法，提升逻辑推理的核心素养.

全称

量词

定义

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词

符号表示

V

全称

量词

命题

定义

含有全称量词的命题，叫做全称量词命题

一般形式

对M中_任意一个x,p(x)成立

符号表示

Vx∈M,p(x)

知识归纳

知识点一全称量词与全称量词命题

存在

量词

定义

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在

量词

符号表示

3

存在量

词命题

定义

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题

一般形式

存在M中的元素x,p(x)成立

符号表示

3x∈M,p(x)

知识点二存在量词与存在量词命题

·疑难解惑·

从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性

质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的.存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题.

基础自测

1.下列命题中的存在量词命题是(C

[A]所有能被3整除的整数都是奇数

[B]每一个四边形的四个顶点在同一个圆上

[C]有的三角形是等边三角形

[D]任意两个等边三角形都相似

【解析】对于A,含有量词“所有”,为全称量词命题，故A错误；对于B,含

有量词“每一个”,为全称量词命题，故B错误；对于C,含有量词“有的”,为存在量词命题，故C正确；对于D,含有量词“任意”,为全称量词命题，故D错误.故选C.

2.(人教A版必修第一册P28练习T1改编)下列命题为全称量词命题的是(D)

[A]有一个偶数是素数

[B]有的有理数的立方是无理数

[C]存在一个三角形，它的三个角都是锐角

[D]任意三角形的内角和都是180°

【解析】对于选项A,为存在量词命题；对于选项B,为存在量词命题；对

于选项C,为存在量词命题；对于选项D,为全称量词命题。故选D.

3.下列命题与“Vx∈R,x²+1≥1”的表述意义一致的是(

[A]有且只有一个实数x,使得x²+11成立

[B]有些实数x,使得x²+1≥1成立

[C]不存在实数x,使得x²+11成立

[D]有无数个实数x,使得x²+1≥1成立

【解析】与“Vx∈R,x²+1≥1”表述一致的是“不存在实数x,使得x²+11成立”.

故选C.

C

4.将“存在一个实数x,使2x²-1≥0”用“3”或“√”符号简记为3x∈R,2x²-1≥0.

【解析】含有存在量词，选择符号“3”,简记为3x∈R,2x²-1≥0.

[例1]判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.

(1)有些实数是无理数；

【解】(1)含有存在量词“有些”,所以命题(1)是存在量词命题。

(2)每一个正方形都是平行四边形；

【解】(2)含有全称量词“每一个”,所以命题(2)是全称量词命题。

(3)3x∈R,x²+4x+4≤0;

【解】(3)含有存在量词“3”,所以命题(3)是存在量词命题。

(4)Vx∈N,2x是偶数；

【解】(4)含有全称量词“V”,所以命题(4)是全称量词命题。

(5)方程2x+1=0有整数解.

【解】(5)省略存在量词，可以改写为“3x∈Z,2x+1=0”,所以命题(5)是存在量

词命题.

·解题策略·

(1)判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，关键是看命题中含有全称量词还是存在量词.

(2)要注意有些全称量词命题与存在量词命题中的量词是省略的，这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断，对于同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同.

[变式训练]指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号或

“3”表示下列命题.

(1)任意实数x都能使|x|+10成立；

【解】(1)“任意”是全称量词；Vx∈R,|x|+10.

(2对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解；

【解】(2“所有”是全称量词；Va,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解.

(3)存在整数x,y,使得3x-2y=10成立；

【解】(3)“存在”是存在量词；3x,y∈Z,3x-2y=10.

(4)至少有一个实数m,使得m与m的倒数之和等于1.

【解】(4)“至少有一个”是存在量词

[例2](湘教版必修第一册P20~21例7和例8)判断下列命题的真假：

(1Vx∈R,x²+20;

【解】(1)因为Vx∈R,x²≥0,从而有x²+2≥20