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8.6.2直线与平面垂直的判定

【学习目标】

1.在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出直线与平面垂直的定义；

2.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；

3.能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.

【重点难点】

重点：直线与平面垂直定义的抽象与归纳；直线与平面垂直判定定理的发现与验证.

难点：直线与平面垂直的判定定理及其应用.

【学习过程】

情境创设

2003年南太湖大桥建成，主塔高108.7米，主梁标准断面宽40.5米，是目前全国同类桥梁中最宽的。

探究一：（1）观察下图，你能说说它的索塔与地面有什么位置关系吗？

（2）观察下图不同时刻大桥索塔与其影子的位置关系，你有什么发现？

一、直线与平面垂直的定义

文字语言：一般地，如果一条直线l和一个平面α内的一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作.

图形语言：符号语言：

辨析：

（1）如果直线与平面互相垂直，则直线与平面内的任意一条直线都垂直.

（2）过平面外一点，有可能存在两条直线与已知平面垂直.

要点：

1.过一点垂直于已知平面的直线有且只有.

2.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的，垂线段的长度叫做这个点到该平面的.

探究二：用定义来证明南太湖大桥的索塔与地面互相垂直可行吗？实施的难点在哪？

直线和一个平面内的一条直线垂直能否证明？

（2）直线和一个平面内的两条平行直线垂直能否证明？

探究三：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，是否可以得到直线和平面垂直？

实验步骤：准备一块三角形纸片，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC桌面在桌面上).

小组合作，思考并讨论以下问题：

（1）如何翻折三角形才能使折痕AD与桌面垂直，此时折痕AD与BD，CD有什么关系？

（2）翻动三角形，改变BD，CD的位置，这一关系仍成立吗？折痕AD与桌面仍垂直吗？

实验结论：.

二、直线与平面垂直判定定理

文字语言：如果一条直线与一个平面内的直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

图形语言：符号语言：

思考：

（1）为什么“两条相交的”可以代表“任意一条”，你能说说其它类似的结论吗？

（2）判定定理改成无数条直线可行吗？

实际应用

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.?

?

分析：

例2.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，求证：AC平面SDB.

巩固练习.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.

【归纳小结】

定义

直线与平面垂直判定定理

平行性质

文字语言图形语言符号语言

线线垂直线面垂直

思想方法

无限证明有限证明

平行关系垂直关系