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平面直角坐标系知识点总结

平面直角坐标系，作为沟通几何图形与代数运算的桥梁，是解析几何的基石，也是我们从直观几何迈向代数化研究的关键一步。理解并熟练掌握其核心概念与应用，对后续函数图像、方程曲线等内容的学习至关重要。本文将对平面直角坐标系的知识点进行系统性梳理，力求专业严谨，突出实用价值。

一、核心概念与构成

平面直角坐标系的定义：在同一个平面上，由两条互相垂直且有公共原点的数轴所构成的系统，称为平面直角坐标系，简称直角坐标系。通常，我们也将其称为笛卡尔坐标系，以纪念其创立者笛卡尔。

坐标系的构成要素：

1.原点（Origin）：两条数轴的公共交点，记作“O”。它是坐标系中位置确定的基准点，其坐标为(0,0)。

2.坐标轴（CoordinateAxes）：

*横轴（HorizontalAxis/x-axis）：通常取向右的方向为正方向的数轴。

*纵轴（VerticalAxis/y-axis）：通常取向上的方向为正方向的数轴。

两条坐标轴互相垂直，共同将平面划分。

3.单位长度（UnitLength）：坐标轴上用以度量距离的标准长度。在同一个坐标系中，x轴和y轴通常采用相同的单位长度，但在某些实际问题中也可根据需要选用不同单位（需明确标注）。

象限（Quadrants）：两条坐标轴将平面分成四个部分，每个部分称为一个象限。按逆时针方向，从右上方开始依次为：

*第一象限：x轴正方向，y轴正方向所围成的区域。

*第二象限：x轴负方向，y轴正方向所围成的区域。

*第三象限：x轴负方向，y轴负方向所围成的区域。

*第四象限：x轴正方向，y轴负方向所围成的区域。

注意：坐标轴上的点（即x轴或y轴上的点）不属于任何一个象限。

二、点的坐标表示

点的坐标定义：在平面直角坐标系中，平面上任意一点P的位置，可以由它向x轴和y轴作垂线所得的垂足在坐标轴上对应的数来确定。

坐标的记法：对于点P，过点P向x轴作垂线，垂足对应的数称为点P的横坐标（Abscissa），通常用字母“x”表示；过点P向y轴作垂线，垂足对应的数称为点P的纵坐标（Ordinate），通常用字母“y”表示。横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用逗号隔开，并用小括号括起来，即点P的坐标表示为(x,y)。这种由两个有顺序的数组成的数对，称为有序数对。

坐标的几何意义：点P(x,y)到x轴的距离是其纵坐标的绝对值|y|，到y轴的距离是其横坐标的绝对值|x|。

三、坐标平面内点的坐标特征

掌握不同位置的点其坐标所具有的特征，是解决许多几何问题的基础。

1.各象限内点的坐标特征：

*第一象限：横坐标为正，纵坐标为正，即(正,正)

*第二象限：横坐标为负，纵坐标为正，即(负,正)

*第三象限：横坐标为负，纵坐标为负，即(负,负)

*第四象限：横坐标为正，纵坐标为负，即(正,负)

2.坐标轴上点的坐标特征：

*x轴上的点：纵坐标为0，即(x,0)。原点是x轴与y轴的交点，坐标为(0,0)。

*y轴上的点：横坐标为0，即(0,y)。

3.特殊直线上点的坐标特征：

*平行于x轴的直线：直线上所有点的纵坐标相等。例如，直线y=a(a为常数)上的点，其纵坐标均为a，横坐标可以为任意实数。

*平行于y轴的直线：直线上所有点的横坐标相等。例如，直线x=b(b为常数)上的点，其横坐标均为b，纵坐标可以为任意实数。

4.象限角平分线上点的坐标特征：

*第一、三象限角平分线：此直线上点的横坐标与纵坐标相等，即x=y。

*第二、四象限角平分线：此直线上点的横坐标与纵坐标互为相反数，即x=-y或x+y=0。

四、坐标平面内的对称变换

在平面直角坐标系中，点的对称问题是常见的几何变换，其坐标变化具有规律性。

1.关于x轴对称：若点P(x,y)关于x轴对称的点为P?，则P?的坐标为(x,-y)。即横坐标不变，纵坐标互为相反数。

2.关于y轴对称：若点P(x,y)关于y轴对称的点为P?，则P?的坐标为(-x,y)。即纵坐标不变，横坐标互为相反数。

3.关于原点对称：若点P(x,y)关于原点对称的点为P?，则P?的坐标为(-x,-y)。即横坐标与纵坐标都互为相反数。

五、两点间距离公式

平面直角坐标系中，任意两点间的距离可以通过其坐标计算得出。

公式：设平面上有两点A(x?,y?)和B(x?,y?)，则A、B两点间的距离，记作|AB|，计算公式为：

AB

推导思路：过A、B两点分别向x轴、y轴作垂线，构成一个直角三角形，利用勾股定理即可推导出上述公式。

特殊情况：

*当A、B两点在x