中考数学 弦图模型巩固练习（提优）-冲刺2026年中考几何专项复习（解析版）.pdfVIP

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弦图模型巩固练习

1．在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你

来解一解：如图，将平行四边形ABCD的四边DA、AB、BC、CD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝

CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE．求证：四边形EFGH为平行四边形．

【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，根据平角的定义得到∠HCG＝∠EAF，根

据启动建设性的性质得到EF＝CH，同理EH＝GF，于是得到结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，

∵∠HCG＝180°﹣∠BCD，∠EAF＝180°﹣∠BAD，

∴∠HCG＝∠EAF，

∵BF＝DH，

∴AF＝CH，

∴△HCG≌△FAE（SAS），

∴EF＝GH，

同理EH＝GF，

∴四边形EFGH为平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和

性质定理是解题的关键．

2．勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进

行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”

进行第一次“谈话”的语言．

（1）请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．

（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利

用图2，验证勾股定理．

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+

（3）利用图2中的直角梯形中线段BC与AD的大小关系，可以证明＜2．请完成其证明．

【分析】（1）根据勾股定理即可求解；

（2）利用S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED进行证明即可；

（3）在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已证△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=2c，从

+

而可证＜2．

222

【解答】解：（1）如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a+b＝c．

（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，

∴∠AEB＝∠EDC，

又∵∠EDC+∠DEC＝90°，

∴∠AEB+∠DEC＝90°，

∴∠AED＝90°．

∵S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，

1111

=++2

∴（a+b）（a+b）ababc，

2222

222

整理，得a+b＝c．

（3）∵AD=2c，BC＜AD，

+

∴a+b＜2c，即＜2．

【点评】本题考查了勾股定理的证明，本题利用了全等三角形的判定和性质、面积分割法、勾股定理等知

识．

3．（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，