中考数学 矩形存在性问题巩固练习（提优）-冲刺2026年中考几何专项复习（解析版）.pdfVIP

中考数学

矩形存在性问题巩固练习

1．如图，▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC=5．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时

针旋转α°，分别交直线BC、AD于点E、F．

（1）当α＝90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果能，求出此时α的值；如果不能，说明理由；

（3）在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，

直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由．

【分析】（1）由AB⊥AC得∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理计算出AC＝2，再根据平行四

1

边形的性质得OA＝OC=AC＝1，AD∥BC，于是可判断△AOB为等腰直角三角形，则∠AOB＝45°，

2

根据平行四边形的判定当EF∥AB时，四边形ABEF是平行四边形，则EF⊥AC，根据旋转的性质得α＝

90°；

（2）由于四边形ABCD的对称中心为点O，则OB＝OD，OE＝OF，可判断四边形BEDF为平行四边形，

根据菱形的判定，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形而∠AOB＝45°，根据互余得到∠COE＝45°，

所以此时α为45°；

（3）根据平行四边形的性质有OA＝OC，OB＝OD，OE＝OF，再根据矩形的判定，当EF＝AC时，四

边形AECF为矩形，易得此时矩形AECF的对角线长为2；当EF＝BD时，四边形BEDF为矩形，由△AOB

=2=222

为等腰直角三角形得OBAB，则BD＝2OB＝2，所以此时矩形BEDF的对角线长为2．

【解答】解：（1）∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝1，BC=5，

∴AC=2−2=2，

∵四边形ABCD为平行四边形，

1

∴OA＝OC=AC＝1，AD∥BC，

2

中考数学

∴△AOB为等腰直角三角形，

∴∠AOB＝45°，

∵AF∥BE，

∴当EF∥AB时，四边形ABEF是平行四边形，

∴EF⊥AC，

∴α＝90°；

故答案为90°；

（2）在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形．

如图1，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD的对称中心为点O，

∴OB＝OD，OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形，

∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，

∵∠AOB＝45°，

∴∠COE＝45°，

即此时α为45°；

（3）在旋转过程中，存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形，

∵OA＝OC，OB＝OD，OE＝OF，

∴当EF＝AC时，四边形AECF为矩形，如图2，矩形AECF的对角线长为2；

中考数学

当EF＝BD时，四边形BEDF为矩形，如图3，

∵△AOB为等腰直角三角形，

=2=2

∴OBAB，

∴BD＝2OB＝22，

∴矩形BEDF的对角线长为22．

【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质；理解旋转

的性质；会运用等腰直角三角形的性质和勾股定理进行几何计算．

3

2．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，