中考数学 正方形存在性问题巩固练习（基础）-冲刺2026年中考几何专项复习（解析版）.pdfVIP

中考数学

正方形存在性问题巩固练习

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1．如图，抛物线y＝﹣ax+bx+5过点（1，2）、（4，5），交y轴于点B，直线

AB经过抛物线顶点A，交x轴于点C，请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）点Q在平面内，在第一象限内是否存在点P，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，

直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式即可求得a、b的值，可求得抛物线解析式；

（2）可先求得A、B两点的坐标，可求得AB长度，分别过A、B两点作AB的垂线，则点P可以在这两

条直线上，且PA＝AB或PB＝AB，分别求得两垂线的解析式，设出点P的坐标，再根据线段相等可列

出方程，可求得点P的坐标．

【解答】解：

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（1）∵抛物线y＝﹣ax+bx+5过点（1，2）、（4，5），

−a+b+5=2a=−1

∴，解得，

−16+4+5=5=−4

∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+5；

（2）在y＝x2﹣4x+5中，令x＝0可得y＝5，

∴B（0，5），

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∵y＝x﹣4x+5＝（x﹣2）+1，

∴A（2，1），

∴AB=22+(1−5)2=25，

2k+n=1k=−2

设直线AB解析式为y＝kx+n，则有=5，解得=5，

∴直线AB解析式为y＝﹣2x+5，

①当PA⊥AB时，如图1，

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可设直线PA解析式为y=x+m，把A（2，1）代入可得1+m＝1，解得m＝0，

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∴直线PA解析式为y=x，

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∴可设点P坐标为（x，x），

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∴PA=(−2)2+(−1)2，

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∵四边形PABQ为正方形，

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∴PA＝AB，即(x−2)2+(−1)2=25，解得x＝﹣2或x＝6

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∵点P在第一象限内，

∴x＝﹣2不符合题意，舍去，故x＝6，此时P点坐标为（6，3）；

②当PB⊥AB时，如图2，

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可设直线PB解析式为y=x+s，把B（0，5）代入可得s＝5，

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∴直线PB解析式为y=x+5，

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∴可设P点坐标为（x，x+5），

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∴PB=2+(+5−5)2，

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同理可得x2+(+5−5)2=25，解得x＝﹣4