中考数学 正方形存在性问题巩固练习（提优）-冲刺2026年中考几何专项复习（解析版）.pdfVIP

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正方形存在问题巩固练习

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1．已知抛物线y＝ax+bx+5经过点A（1，0），B（5，0）两点，顶点为D，设点E（x，y）是抛物线上一

动点，且在x轴下方．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，①当点E（x，y）运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积

S的最大值？

②在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点的距离之和d＝MD+MB最小，求点M的坐标．

（3）如图2，若四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF

为正方形？若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A、B两点坐标代入二次函数表达式，即可求解；

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2−2

（2）①设点E的坐标为（x，x﹣6x+5），S＝S△OEB=•OB•yE=（x﹣6x+5），即可求解；②连接

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B′D交y轴于点M，此时，MD+MB最小，即可求解；

5555

（3）当四边形OEBF为正方形，则点E的坐标为（，−），当x=时，y＝x2﹣6x+5≠−，即可求

2222

解．

2

【解答】解：（1）抛物线y＝ax+bx+5经过点A（1，0），B（5，0）两点，

则函数表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），

则5a＝5，即a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+5；

（2）①设点E的坐标为（x，x2﹣6x+5）

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−2

S＝S△OEB=•OB•yE=（x﹣6x+5），

22

5

∵a=−＜0，故函数有最大值，

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当x=−=3时，函数最大值为S＝10；

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②找到点B关于y轴的对称点B′（﹣5，0），连接B′D交y轴于点M，

此时，M到D、B两点的距离之和d＝MD+MB最小，

y＝x2﹣6x+5，顶点D坐标为（3，﹣4），

设直线B′D的表达式为：y＝mx+n，

1

m=−

将点B′、D的坐标代入上式得：−4=3m+m，解得：2，

0=−5+5

=−

2

15

则直线B′D