中考数学 矩形存在性问题巩固练习（基础）-冲刺2026年中考几何专项复习（解析版）.pdfVIP

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矩形存在性问题巩固练习

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1．如图，抛物线y=−x2+x+1与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，连AB，点P在y轴上，点Q在

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抛物线上，是否存在点PQ，使四边形ABPQ为矩形？若存在，求点Q的坐标．

【分析】先令x＝0，求出y的值得到AO的长度，根据对称轴解析式求出OB的长度，根据矩形的四个

角都是直角可得∠ABP＝90°，然后求出∠BAO＝∠PBO，从而得到△AOB和△BOP相似，利用相似三

角形对应边成比例求出OP的长度，再根据矩形的对称性求出矩形的中心C的坐标，然后求出点Q的坐

标，再根据二次函数图象上点的坐标特征把点Q的坐标代入抛物线解析式进行验证即可．

【解答】解：存在点P和点Q，使四边形ABPQ为矩形，

理由如下：令x＝0，则y＝1，

∴AO＝1，

4

−3

∵抛物线对称轴为直线x=1=2，

2×(−)

3

∴OB＝2，

∵四边形ABPQ为矩形，

∴∠ABO+∠PBO＝∠ABP＝90°，

∵∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠BAO＝∠PBO，

又∵∠AOB＝∠BOP＝90°，

∴△AOB∽△BOP，

∴=，

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即=，

2

解得OP＝4，

∴点P的坐标为（0，﹣4），

∴AP的中点，即矩形的中心C的坐标是（0，﹣1.5），

+2+0

设点Q（x，y），则=0，=−1.5，

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解得x＝﹣2，y＝﹣3，

∴点Q的坐标为（﹣2，﹣3），

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=−×2+×=−−+

当x＝﹣2时，y3（﹣2）3（﹣2）+1331＝﹣4+1＝﹣3，

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∴点Q在抛物线y=−x2+x+1上，

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故存在点Q（﹣2，﹣3），使四边形ABPQ为矩形，

点Q的坐标为（﹣2，﹣3）．

【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中心对称的点

的坐标求出以及二次函数图象上点的坐标特征，利用中心对称求出点Q的坐标是解题的关键．

2．在平面直角坐标系中，∠ACO＝90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥x轴于

D，点A的坐标为（﹣3，1）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若AB中点为M，连接CM，点P是射线CM上的动点，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，设点P

的横坐标为t，△PQO的面积为S（S≠0），求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使以P、O、B、N（N为平面上一点）

为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先证明△AO