小升初奥数行程问题.docxVIP

小升初奥数行程问题

行程问题，作为小学数学，尤其是奥数领域的经典模块，历来是小升初选拔考试的重点与难点。它不仅考察学生对基本数学概念的理解，更考验其分析复杂情境、建立数量关系以及运用逻辑推理解决问题的能力。许多学生在面对行程问题时，常因情境抽象、关系复杂而感到困惑。本文将从行程问题的基本要素出发，逐步深入，剖析各类经典题型的解题思路与技巧，帮助学生建立清晰的解题框架，提升解决此类问题的信心与能力。

一、行程问题的基石：基本概念与核心公式

任何复杂的行程问题，都是基于最基本的概念和公式演变而来。因此，深刻理解并熟练掌握这些“源头性”的知识，是解决一切行程问题的前提。

1.三大基本要素

行程问题的研究离不开三个核心要素：路程（S）、速度（v）和时间（t）。

*路程（S）：物体运动轨迹的长度，通常以米、千米等为单位。

*速度（v）：单位时间内物体所经过的路程，表示物体运动的快慢。常见单位有米/秒、千米/小时等。这里的“单位时间”可以是1秒、1分钟、1小时等。

*时间（t）：物体运动所经历的时间段。

2.核心公式及变形

这三个要素之间存在着密不可分的关系，最基本的数量关系是：

速度×时间=路程，即v×t=S

由此公式，我们可以推导出另外两个基本变形公式：

路程÷速度=时间，即S÷v=t

路程÷时间=速度，即S÷t=v

这三个公式是解决所有行程问题的“万能钥匙”，务必烂熟于心，并能灵活运用。在实际问题中，我们需要仔细分析题目情境，准确判断已知哪两个量，要求哪个量，然后选择合适的公式进行计算。

二、相遇与追及：行程问题的两大核心模型

当题目中出现两个或两个以上运动物体时，问题情境会变得复杂起来，其中最基本也最重要的两种情况便是“相遇问题”和“追及问题”。

（一）相遇问题：相向而行的智慧

1.基本定义：两个物体从两地出发，沿同一条路线相向而行（面对面行驶），最终会在途中某一点相遇。

2.核心关系：在相遇问题中，两个物体所用的时间通常是相同的（从出发到相遇）。它们共同行驶的路程之和，等于两地之间的初始距离。

因此，相遇问题的核心公式可表述为：

速度和×相遇时间=总路程，即(v?+v?)×t=S总

这里的“速度和”指的是两个物体单位时间内一共行驶的路程。

3.解题关键：

*准确判断是否为相遇问题（相向而行，有明确的相遇点或相遇时刻）。

*找出或求出“总路程”（通常是两地之间的距离，或两个物体出发时的初始距离）。

*明确“相遇时间”是两个物体共同行驶的时间。

*根据已知条件，灵活运用公式求解未知量（可能是速度、时间或总路程）。

例1：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲每小时走5公里，乙每小时走4公里，经过3小时两人相遇。问A、B两地相距多少公里？

分析：这是一道典型的相遇问题。甲、乙相向而行，速度分别为5公里/小时和4公里/小时，相遇时间为3小时。

解：速度和=5+4=9（公里/小时）

总路程=速度和×相遇时间=9×3=27（公里）

答：A、B两地相距27公里。

（二）追及问题：同向而行的较量

1.基本定义：两个物体沿同一条路线同向而行，速度快的物体从后面追赶速度慢的物体，最终会追上。

2.核心关系：在追及问题中，当快的物体追上慢的物体时，两者所用的时间通常是相同的（从出发到追上）。它们行驶的路程之差，等于初始时的距离（即“追及距离”或“路程差”）。

因此，追及问题的核心公式可表述为：

速度差×追及时间=追及距离，即(v快-v慢)×t=S差

这里的“速度差”指的是单位时间内，快的物体比慢的物体多行驶的路程。

3.解题关键：

*准确判断是否为追及问题（同向而行，有明确的追赶者和被追赶者，存在初始距离）。

*找出或求出“追及距离”（即出发时两者相距的路程）。

*明确“追及时间”是快的物体从出发到追上慢的物体所用的时间。

*根据已知条件，灵活运用公式求解未知量。

例2：甲、乙两人在同一条路上同向而行，甲在乙前方100米处。甲每分钟走60米，乙每分钟走80米。问乙出发后多少分钟能追上甲？

分析：这是一道典型的追及问题。乙速度比甲快，同向而行，初始距离（追及距离）为100米。

解：速度差=80-60=20（米/分钟）

追及时间=追及距离÷速度差=100÷20=5（分钟）

答：乙出发后5分钟能追上甲。

三、行程问题的变式与拓展

掌握了相遇和追及这两个基本模型后，我们还需要应对更为复杂的行程问题变式，这些变式往往是基本模型的组合或在特定情境下的应用。

（一）流水行船问题：考虑外界助力与阻力

船在水中航行时