2025年下学期高中数学竞赛威尔逊定理试卷.docVIP

2025年下学期高中数学竞赛威尔逊定理试卷

一、选择题（每题5分，共30分）

下列关于威尔逊定理的表述中，正确的是（）

A.若(p)为正整数，则((p-1)!\equiv-1\pmod{p})

B.若(p)为素数，则((p-1)!\equiv1\pmod{p})

C.若((n-1)!\equiv-1\pmod{n})，则(n)必为素数

D.威尔逊定理仅适用于奇素数，不适用于2

设(p)为素数，且(p2)，则((p-2)!\equiv1\pmod{p})的推导依据是（）

A.费马小定理

B.威尔逊定理的推论

C.欧拉定理

D.中国剩余定理

满足((n-1)!\equiv-1\pmod{n})的最小合数(n)是（）

A.4

B.6

C.12

D.不存在

若(p)为素数，则(\frac{(2p)!}{(p!)^2}\equiv(-1)^p\pmod{p})成立的主要原因是（）

A.组合数的模运算性质

B.威尔逊定理对阶乘的分解

C.二项式定理的展开

D.素数的整除性

设(p=101)（素数），则(100!\mod101)的值为（）

A.0

B.1

C.100

D.-1

下列问题中，不能直接用威尔逊定理解决的是（）

A.判断一个数是否为素数

B.计算阶乘的模运算结果

C.证明素数的无穷性

D.求解同余方程(x^2\equiv-1\pmod{p})

二、填空题（每题5分，共30分）

已知(p)为素数，且(p\equiv1\pmod{4})，则(\left(\frac{p-1}{2}\right)!^2\equiv_____\pmod{p})。

设(n=13)，则(12!\mod14)的值为_____。

若(p)为素数，且(p3)，则((p-1)!+1)能被(p)整除，该命题的逆命题_____（填“成立”或“不成立”）。

满足(k!\equiv-1\pmod{23})的正整数(k)的最小值为_____。

设(p)为素数，且(p\equiv3\pmod{4})，则方程(x^2\equiv-1\pmod{p})的解的个数为_____。

计算：(\frac{10!}{5!\cdot5!}\mod7=_____)。

三、解答题（共40分）

13.（10分）证明威尔逊定理：若(p)为素数，则((p-1)!\equiv-1\pmod{p})。

证明思路：

存在性：当(p=2)时，(1!=1\equiv-1\pmod{2})，结论成立；当(p=3)时，(2!=2\equiv-1\pmod{3})，结论成立。

一般情形：对素数(p3)，考虑模(p)的既约剩余系({1,2,\dots,p-1})。对每个(a\in{1,2,\dots,p-1})，存在唯一的逆元(a^{-1}\in{1,2,\dots,p-1})，使得(aa^{-1}\equiv1\pmod{p})。逆元等于自身的数满足(a^2\equiv1\pmod{p})，即(a\equiv1)或(a\equivp-1\pmod{p})。

配对乘积：将剩余系中除1和(p-1)外的数两两配对，每对乘积模(p)为1。因此，((p-1)!=1\times(p-1)\times\prod_{\substack{2\leqa\leqp-2\aa^{-1}}}aa^{-1}\equiv1\times(-1)\times1^{\frac{p-3}{2}}\equiv-1\pmod{p})。

14.（10分）设(p)为素数，证明：(\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\equiv0\pmod{p})（其中分数表示模(p)的逆元）。

证明：

由威尔逊定理，((p-1)!\equiv-1\pmod{p})。考虑多项式(f(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-(p-1))-x^{p-1}+1)，其次数不超过(p-2)，且对所有(x=1,2,\dots,p-1)，有(f(x)\equiv0\pmod{p})（因(x^{p-1}\equiv1\pmod{p})，且((x-1)\cdots(x-(p-1))\equivx