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2025年下学期高中数学竞赛问题解决试卷

一试（80分钟满分120分）

一、填空题（共8小题，每题8分，满分64分）

已知集合(A={x\midx^2-5x+6\leq0})，(B={x\mid\log_2(x-1)2})，则(A\capB=)__________。

函数(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx)在区间([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值为__________。

已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_1=2)，(S_3=14)，则公比(q=)__________。

若复数(z)满足(|z-2i|=1)，则(|z+1|)的最小值为__________。

某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为__________(\text{cm}^3)。（注：此处默认考生能根据常见三视图还原几何体，例如一个底面半径为1、高为3的圆柱与一个同底等高的圆锥组合体）

从5名男生和4名女生中选出3人参加数学建模比赛，要求至少有1名女生，不同的选法共有__________种。

已知抛物线(y^2=4x)的焦点为(F)，过点(F)的直线交抛物线于(A,B)两点，若(|AF|=3)，则(|BF|=)__________。

若不等式(x^2-ax+1\geq0)对任意(x\in[1,2])恒成立，则实数(a)的取值范围为__________。

二、解答题（共3小题，满分56分）

9.（16分）

已知函数(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。

（1）讨论函数(f(x))的单调性；

（2）若(f(x)\geq0)对任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值。

10.（20分）

在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，且满足(b\cosC=(2a-c)\cosB)。

（1）求角(B)的大小；

（2）若(b=2\sqrt{3})，求(\triangleABC)面积的最大值。

11.（20分）

已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(ab0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。

（1）求椭圆(C)的标准方程；

（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(M,N)两点，(O)为坐标原点，若(k_{OM}\cdotk_{ON}=-\frac{1}{4})，求(\triangleOMN)面积的取值范围。

二试（170分钟满分180分）

一、（40分）平面几何

如图，在锐角(\triangleABC)中，(AB=AC)，(D)为(BC)的中点，以(AD)为直径作圆(O)，交(AB)于点(E)，交(AC)于点(F)，过点(E)作圆(O)的切线，交(BC)于点(G)。证明：(GF\perpAC)。

（注：可使用梅涅劳斯定理、塞瓦定理等工具，辅助线可构造中位线或利用切线性质）

二、（40分）代数

已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+\sqrt{3a_n^2+1})（(n\in\mathbb{N}^*)）。

（1）证明：数列({a_n})单调递增；

（2）求数列({a_n})的通项公式。

三、（50分数论

设(p)是奇素数，证明：

（1）(1^2\cdot3^2\cdot\cdots\cdot(p-2)^2\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p})；

（2）若(p\equiv1\pmod{4})，则存在整数(x)，使得(x^2\equiv-1\pmod{p})。

四、（50分）组合数学

在一个(8\times8)的方格表中，每个格子染上红色或蓝色。证明：

（1）至少存在一个(2\times2)的子方格表，其四个角的格子颜色相同；

（2）若每个格子恰染红、蓝两色之一，且每行、每列红色格子数均为4，则至少存在4个互不重叠的(2\times2)子方格表，每个子方格表的四个角