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2025年下学期高中数学竞赛文化自信试卷

一、选择题（共8题，每题8分，满分64分）

《九章算术》中的几何智慧

我国古代数学典籍《九章算术》中记载“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”（注：1尺=10寸）.若将其转化为现代几何问题：如图，圆O的直径垂直于弦AB于点C，CD=1寸，AB=10寸，则圆O的直径为（）

A.13寸B.26寸C.10寸D.20寸

祖冲之的圆周率贡献

南北朝数学家祖冲之将圆周率精确到小数点后7位，这一成就比欧洲早约1000年.已知某圆的半径为(\sqrt{\frac{10}{\pi}})，其面积在祖冲之的“约率”（(\frac{22}{7})）和“密率”（(\frac{355}{113})）计算下的差值为（）

A.(\frac{10}{7791})B.(\frac{10}{7})C.(\frac{10}{113})D.(\frac{10}{22})

秦九韶算法的现代应用

南宋数学家秦九韶提出的“秦九韶算法”可高效计算多项式的值.已知多项式(f(x)=x^5+2x^4+3x^3+4x^2+5x+6)，用秦九韶算法计算(f(2))时，需要进行的乘法运算次数为（）

A.5B.4C.3D.2

《孙子算经》中的数论问题

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？”这一问题出自《孙子算经》，其最小正整数解为（）

A.21B.23C.25D.27

杨辉三角的组合意义

北宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了“开方作法本源图”（即杨辉三角）.若将杨辉三角中第n行第k个数记为(C(n,k))，则(C(8,2)+C(8,3))的值为（）

A.56B.70C.84D.126

刘徽割圆术的极限思想

魏晋数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”若用圆内接正n边形的面积近似圆的面积，当n从6增加到12时，正n边形的边长与半径之比的变化为（）

A.从(\frac{1}{2})变为(\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2})B.从1变为(\sqrt{2-\sqrt{3}})

C.从(\frac{\sqrt{3}}{2})变为(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2})D.从(\sqrt{3})变为(\sqrt{2-\sqrt{3}})

朱世杰的垛积术

元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中研究了“三角垛”问题：“三角垛，下广一面九个，上尖，问计几何？”（即求1+3+6+…+C(n,2)的和）.若某三角垛的底层有9个元素，则该垛的总元素数为（）

A.84B.120C.165D.210

现代数学中的中国贡献

2023年，中国数学家张益唐在朗道-西格尔零点猜想研究中取得突破性进展.若某数列满足(a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n(n+1)})，且(a_1=1)，则(\lim_{n\to\infty}a_n)的值为（）

A.1B.2C.(\frac{3}{2})D.(\frac{1}{2})

二、填空题（共3题，每题16分，满分48分）

《周髀算经》中的勾股定理

《周髀算经》记载：“勾广三，股修四，径隅五.”若将勾股定理推广到空间直角坐标系中，已知点A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,12)，则三棱锥O-ABC（O为原点）的外接球表面积为________.

华罗庚的优选法

数学家华罗庚推广的“优选法”（黄金分割法）在生产实践中广泛应用.若在区间[1,10]上用黄金分割法寻找最优解，设第一个试点为(x_1=1+0.618\times(10-1))，则第二个试点(x_2)的值为________（精确到小数点后两位）.

陈景润与哥德巴赫猜想

中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中取得“1+2”的突破.若一个偶数可以表示为两个质数之和（如4=2+2），则将小于100的所有可表示为“奇质数+奇质数”的偶数从小到大排列，第20个数为________.

三、解答题（共3题，第12题20分，第13题20分，第14题32分，满分72分）

《九章算术》中的方程问题

（1）《九章算术》“方程”章第1题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六