2025年下学期高中数学竞赛文明互鉴试卷.docVIP

2025年下学期高中数学竞赛文明互鉴试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

古埃及几何学中用于土地测量的绳索法蕴含着勾股定理的思想。若一个三角形的三边长分别为3k、4k、5k（k0），则该三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为（）

A.1:5B.2:5C.3:5D.4:5

中国古代数学著作《九章算术》中记载了粟米之法：粟率五十，粝米三十，即50单位粟可换30单位粝米。若现在有两种兑换比例：粟米兑换糙米的比例为5:3，糙米兑换精米的比例为3:2。那么100单位粟米经过两次兑换后可得到精米的单位数为（）

A.20B.24C.30D.36

古希腊毕达哥拉斯学派认为万物皆数，他们发现某些数具有特殊性质。若一个数等于它所有真因子（不包括自身）之和，则称其为完全数。已知6是最小的完全数（6=1+2+3），那么下一个完全数是（）

A.24B.28C.36D.496

印度数学家婆罗摩笈多在7世纪提出了零的运算法则。若复数z满足方程z2+z+1=0，则z3+2z2+2z的值为（）

A.0B.1C.zD.z2

阿拉伯数学家花拉子米在《代数学》中系统研究了一元二次方程。关于方程x2+px+q=0（p、q为实数）的根的情况，以下说法正确的是（）

A.若方程有两个正根，则p0且q0

B.若方程有两个异号根，则q0

C.若p2=4q，则方程有两个相等的虚根

D.若p0且q0，则方程必有两个负根

17世纪法国数学家笛卡尔创立了解析几何，将几何问题代数化。在平面直角坐标系中，曲线x3+y3=3xy被称为笛卡尔叶形线，则该曲线在点(2,-1)处的切线斜率为（）

A.-5/7B.-7/5C.5/7D.7/5

二、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

《周髀算经》中记载勾广三，股修四，径隅五，体现了勾股定理的思想。若直角三角形的两直角边长分别为√3和√5，则以斜边为边的正方形的面积为___。

古代巴比伦人采用60进制计数法，这一传统至今仍在时间计量中使用。将角度75°30转换为弧度制，结果为___（用π表示）。

中世纪欧洲数学家斐波那契在《算盘全书》中引入了斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,...（从第三项起，每一项等于前两项之和）。若F(n)表示该数列的第n项，则F(10)-F(8)的值为___。

日本数学家关孝和在17世纪创立了和算，其中关于行列式的研究早于欧洲。行列式|(1,2),(3,4)|的值为___。

古印度数学家阿耶波多在《阿耶波多论》中给出了π的近似值3.1416。若将半径为1的圆的面积用分数表示（π取22/7），则结果为___。

阿拉伯数学家阿尔·卡西在15世纪计算出π的17位小数。若一个球的表面积为16π，则该球的体积为___（结果保留π）。

中国南宋数学家秦九韶提出了大衍求一术，即一次同余方程组的解法。若x满足：x≡2(mod3)，x≡3(mod4)，则满足条件的最小正整数x为___。

古希腊数学家阿基米德在《论螺线》中研究了螺旋线的性质。若点P在极坐标系中的坐标为(2,π/3)，则其在直角坐标系中的坐标为___。

三、解答题（本大题共5小题，共106分）

15.（本题满分20分）中国古代数学著作《九章算术》中的方程术采用了类似于矩阵的方法解线性方程组。解关于x、y、z的方程组：

x+2y+3z=14

2x+y+2z=10

3x+4y+z=16

16.（本题满分20分）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中证明了素数有无穷多个。

（1）证明：若p是素数，则2^p-1的所有素因数都形如2kp+1（k为正整数）；

（2）利用（1）的结论，证明素数有无穷多个。

17.（本题满分22分）阿拉伯数学家巴塔尼在三角学方面有重要贡献，他编制了精确的三角函数表。已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足：

(1)acosB+bcosA=2ccosC；

(2)a2+b2=2c2。

求角C的大小及tanA+tanB的值。

18.（本题满分22分）中国清代数学家李善兰在《方圆阐幽》中创立了尖锥术，是中国微积分思想的萌芽。设函数f(x)=x3-3x2+2x，

（1）求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）求曲线y=f(x)与x轴所围成的封闭图形的面积。

19.（本题满分22分）印度数学家拉马努金发现了许多精妙的数学公式。已知无穷级数S=1+1/22+1/32+1/42+...，

（1）证明：S=4/3(1+1/22+1/42+1/52+1/72+1/82+...)，其中右