2025年下学期高中数学竞赛数论初步试卷.docVIP

2025年下学期高中数学竞赛数论初步试卷

一、填空题（每题8分，共64分）

设正整数(n)满足(2025\midn^2-n)，则(n)的最小正值为________。

同余方程(3x\equiv5\pmod{7})的解为(x\equiv)________（填最小正整数解）。

不定方程(x^2-2y^2=1)的最小正整数解为((x,y)=)________。

设(p)为奇素数，若(2)是模(p)的二次剩余，则(p\equiv)________（模8的可能取值，写出所有答案）。

欧拉函数(\phi(100)=)________。

使得(3^k\equiv1\pmod{7})成立的最小正整数(k)为________。

正整数(a,b)满足(\gcd(a,b)=6)，且([a,b]=120)，则有序数对((a,b))的个数为________。

若(n)为正整数，且(n^2+n+1\equiv0\pmod{7})，则(n\equiv)________（模7的所有可能解）。

二、解答题（共86分）

第1题（16分）

证明：对任意正整数(n)，(n^5-n)能被5整除。

第2题（20分）

求所有正整数(x,y)，使得(x^2+y^2=2025)。

第3题（25分）

设(p)是素数，且(p\equiv1\pmod{4})，证明：存在整数(a)，使得(a^2\equiv-1\pmod{p})。

第4题（25分）

已知正整数(a,b)满足(a+b=2025)，求(\gcd(a,b))的最大值。

三、附加题（共50分，不计入总分，供学有余力者挑战）

第1题（25分）

设(n)是大于1的整数，证明：存在无穷多个正整数(k)，使得(k\cdot2^n+1)是合数。

第2题（25分）

求所有正整数(x,y,z)，满足(x^y+y^z=z^x)，且(x\leqy\leqz)。

参考答案及评分标准（简要提示）

一、填空题

1（提示：(n^2-n=n(n-1))，连续整数乘积，2025=92×52，取(n=1)时满足）

4（提示：两边乘3的逆元5，得(x\equiv5×5=25\equiv4\pmod{7})）

(3,2)（佩尔方程基本解）

1或7（二次互反律：2是模(p)的二次剩余当且仅当(p\equiv\pm1\pmod{8})）

40（(\phi(100)=\phi(2^2\times5^2)=100\times(1-1/2)\times(1-1/5)=40)）

6（3模7的阶为6）

8（设(a=6m,b=6n)，(\gcd(m,n)=1)，(mn=20)，(m,n)有8组）

2或4（枚举(n=0,1,...,6)验证）

二、解答题

证明：由费马小定理，对素数5，有(n^5\equivn\pmod{5})，故(n^5-n\equiv0\pmod{5})。

解：(2025=45^2)，列举勾股数得解：(0,45),(9,36),(18,27),(27,18),(36,9),(45,0)，但正整数解为(9,36),(18,27),(27,18),(36,9)。

证明：考虑威尔逊定理((p-1)!\equiv-1\pmod{p})，因(p\equiv1\pmod{4})，可设(k=(p-1)/2)，则((k!)^2\equiv-1\pmod{p})，取(a=k!)即可。

解：设(d=\gcd(a,b))，则(a=da,b=db)，(\gcd(a,b)=1)，且(d(a+b)=2025)。(d)最大时(a+b)最小，取(a+b=1)（矛盾），(a+b=3)（(d=675)），此时((a,b)=(1,2))，故(d=675)。

三、附加题

提示：取(k=t\cdot2^n-1)（(t)为正整数），则(k\cdot2^n+1=(t\cdot2^n-1)\cdot2^n+1=t\cdot2^{2n}-2^n+1)，当(t=1)时