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2025年下学期高中数学竞赛实际应用试卷

一、选择题（共8题，每题8分，共64分）

智能仓储调度问题

某电商仓库采用机器人分拣系统，现有A、B两种型号机器人共12台，A型每小时分拣80件，B型每小时分拣120件。若仓库每日需处理至少12000件订单，且A型机器人数量不超过B型的2倍，则最优配置方案中B型机器人的数量为（）

A.4B.5C.6D.7

5G信号覆盖模型

某基站信号覆盖范围为半径500米的圆形区域，现需在边长1000米的正方形社区中心建立基站。若社区内任意两点的信号强度与距离平方成反比，则社区边缘点的信号强度是中心处的（）

A.1/4B.1/2C.2/5D.1/5

碳排放核算问题

某工厂生产两种产品，甲产品每件碳排放3kg，利润50元；乙产品每件碳排放5kg，利润80元。环保部门要求每日碳排放总量不超过1200kg，且甲产品产量不低于乙产品的1.5倍。则每日最大利润为（）

A.19200元B.20000元C.20800元D.21600元

人口增长预测

某城市2025年人口为100万，若人口年增长率为r，且满足微分方程dP/dt=0.02P(1-P/500)（单位：万人/年），则2035年人口预测值为（）

A.120万B.122万C.125万D.130万

加密通信中的数论应用

RSA加密算法中，若公钥为（e=3，n=33），则私钥d的值为（）

A.7B.11C.17D.23

物流路径优化

快递员需从配送中心O出发，依次经过A、B、C三个网点后返回O，各点坐标为O(0,0)，A(1,2)，B(3,5)，C(6,1)。若采用曼哈顿距离（|x1-x2|+|y1-y2|），则最短路径总长为（）

A.18B.20C.22D.24

光伏发电效率

某太阳能板输出功率P（W）与光照强度I（klx）的关系为P=20I-0.5I2，若某日光照强度随时间变化为I(t)=6+3sin(πt/12)（0≤t≤12），则最大输出功率为（）

A.120WB.135WC.150WD.165W

金融复利计算

某理财产品年化利率4%，按季度复利计息，若本金10万元，则5年后本息和（单位：元）为（）

A.10(1+0.01)^20B.10(1+0.04)^5

C.10(1+0.02)^10D.10(1+0.04/12)^60

二、填空题（共6题，每题8分，共48分）

疫苗接种率模型

某地区总人口100万，初始接种人数10万，疫苗传播系数k=0.00002（人?1·天?1），则logistic增长模型N(t)=100/(1+9e^(-rt))中的日增长率r=________。

供应链库存问题

某商店采用（s,S）补货策略，当库存低于s=5件时订购至S=20件。若每日需求量X服从参数λ=3的泊松分布，则首次补货发生在第3天的概率为________（精确到0.001）。

交通流密度计算

高速公路上车流密度ρ（辆/km）与车速v（km/h）关系为v=80(1-ρ/100)，则流量Q=ρv的最大值为________辆/h。

图像压缩算法

某bitmap图像分辨率为1920×1080，每个像素用24位RGB色彩表示。若采用Huffman编码压缩后比特率为12bpp，则压缩比为________。

建筑力学中的几何

某抛物线形拱桥跨度40米，拱高10米，若一艘宽10米、高6米的轮船通过，则船顶与拱顶的最小距离为________米。

密码学中的组合计数

某密码系统要求8位字符密码，其中至少包含2个大写字母（26种）、2个小写字母（26种）和2个数字（10种），则可能的密码总数为________（用组合数表示）。

三、解答题（共3题，共68分）

电商平台收益优化（20分）

某平台销售某商品，单价p（元）与销量q（件）满足关系q=1000-5p，平台需支付固定成本2000元，每件商品佣金10元。

（1）求利润L(p)的函数表达式；

（2）若商品进价随销量变化为C(q)=20+0.01q，求最大利润及对应定价；

（3）若平台推出满减活动“满200减x”，预计销量提升20%，求x的最优值使利润不低于原最大值的90%。

城市规划中的几何问题（24分）

如图，某矩形公园ABCD中，AB=800米，BC=600米，O为对角线AC中点。现需在公园内建圆形花坛，满足：

①圆心在AC上；②与AB、AD边相切；③与BC边或CD边至少有一个交点。

（1）求花坛半径r的取值范围；

（2）若花坛内种植两种花卉，扇形区域（圆心角60°）种植牡丹，其余区域种植月季，求两种花卉面积之和的最大值。

疫情传播动力学模型（24分）

某地区疫情传播满足SEIR模型：