2025年下学期高中数学竞赛最大公约数试卷.docVIP

2025年下学期高中数学竞赛最大公约数试卷

一、选择题（每题5分，共30分）

设正整数(a,b)满足(\gcd(a,b)=12)，且(a+b=180)，则有序数对((a,b))的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

已知(n)为正整数，若(\gcd(n,2025)=45)，则(n)的最小值为（）

A.45B.90C.135D.225

设(a,b,c)是小于100的正整数，且(\gcd(a,b)=3)，(\gcd(b,c)=5)，(\gcd(a,c)=1)，则满足条件的三元数组((a,b,c))的个数为（）

A.128B.144C.160D.192

若正整数(m,n)满足(\gcd(m,n)+\text{lcm}(m,n)=2025)，则(m+n)的最大值为（）

A.2024B.2025C.2026D.2027

设(p)是素数，且(\gcd(p+1,2025)=9)，则(p)的可能值有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=a_n+\gcd(n,a_n))，则(a_{2025})的值为（）

A.1013B.2025C.3038D.4050

二、填空题（每题8分，共40分）

设(x,y)是正整数，且(3x+5y=2025)，则(\gcd(x,y))的最大值为__________。

若正整数(n)满足(\gcd(n,2025)=n)，且(\gcd(n,100)=1)，则(n)的所有可能值之和为__________。

设集合(S={1,2,\cdots,2025})，则集合(S)中所有元素的最大公约数之和为__________（注：(\gcd(k,k)=k)）。

已知(a,b)是正整数，且(\gcd(a,b)=1)，(a+b=2025)，则(\gcd(a^2+b^2,ab))的值为__________。

设(f(n))表示正整数(n)的所有正约数的最大公约数，则(f(2025))的值为__________。

三、解答题（共80分）

（15分）证明：对任意正整数(n)，(\gcd(n^2+2n,2n+1)=1)。

（20分）设(a,b,c)是正整数，且(\gcd(a,b,c)=1)，(\gcd(a,b)=m)，(\gcd(b,c)=n)，(\gcd(a,c)=p)，证明：(mnp)整除(abc)。

（25分）求所有正整数(k)，使得存在正整数(a,b)，满足(\gcd(a,b)=k)，且(a+b=2025k)，(a-b=k^2)。

（20分）设(n)是正整数，定义(f(n))为(n)的所有正约数的最大公约数，(g(n))为(n)的所有正约数的最小公倍数。证明：(f(n)\timesg(n)=n)。

四、附加题（共50分）

（25分）设(p)是奇素数，(a,b)是正整数，且(\gcd(a,p)=\gcd(b,p)=1)，证明：(\gcd(a^p+b^p,a+b))能被(p)整除。

（25分）设(S)是由所有小于2025的正整数组成的集合，对任意(k\inS)，记(d(k))为(k)的正约数个数，(g(k))为(k)的所有正约数的最大公约数。求(\sum_{k=1}^{2024}d(k)g(k))的值。

参考答案与解析

一、选择题

B

解析：设(a=12m)，(b=12n)，则(\gcd(m,n)=1)，且(m+n=15)。满足(\gcd(m,n)=1)的((m,n))有((1,14),(2,13),(4,11),(7,8))，共4组。

C

解析：(2025=3^4\times5^2)，(\gcd(n,2025)=45=3^2\times5)，则(n)至少含(3^2\times5)，且不含(3^4)或(5^2)的更高次幂，最小值为(3^2\times5=45)？错，应为(3^3\times5=135)（需排除(3^4)和(5^2)）。

B

解析：设(b=15k)（(\gcd(a,b)=3)，(\gcd(b,c)=5)，则(b)含(3\times5=15)），(a=3m)，(c=5n)，(\gcd(m,5k)=1)，(\gcd(n,3k)=1)，(\gcd(3m,5n)=1)。(k)可取1,2,...,6（(15k100)），(m)有(\phi(5k))种，(n)有(\phi(3k))种，总个数为(\sum_{k=1}^6\phi(5k)\phi(3k)=144)。

A

解析：设(\gcd(m,n)=d)，(m=da)，(n=db)，(\gcd(a,b)=1)，则(d(1+ab)=2025)。(d)为2025的约数，(ab=\frac{2025}{d}-1)，(m+n=d(a+b)