2025年下学期高中数学开放题创新思维试卷.docVIP

2025年下学期高中数学开放题创新思维试卷

一、函数与导数综合探究题

题目：已知函数$f(x)=e^x-ax^2-bx-1$，其中$a,b\in\mathbb{R}$。

（1）若$a=b=0$，求$f(x)$在区间$[-1,1]$上的最值；

（2）若$f(x)$在$x=0$处取得极值，且在$(0,+\infty)$上单调递增，探究$a$与$b$满足的关系；

（3）请自选一个生活场景（如人口增长、投资收益等），建立与$f(x)$相关的数学模型，并结合导数知识分析该场景中的变化规律。

解答思路：

（1）直接代入参数得$f(x)=e^x-1$，求导得$f(x)=e^x0$，故函数在$[-1,1]$上单调递增，最小值为$f(-1)=e^{-1}-1$，最大值为$f(1)=e-1$。

（2）由极值条件$f(0)=0$得$1-b=0\Rightarrowb=1$。又因$f(x)$在$(0,+\infty)$递增，需$f(x)=e^x-2ax-1\geq0$恒成立。通过分类讨论$a$的取值范围（如$a\leq0$时显然成立，$a0$时需结合二阶导数$f(x)=e^x-2a$分析极值点），最终可得$a\leq\frac{1}{2}$。

（3）示例场景：某公司新产品用户增长模型。设$x$为上线时间（月），$f(x)$为累计用户数（万人），$e^x$表示自然增长趋势，$-ax^2$表示市场饱和抑制效应。通过求导$f(x)$可分析用户增长速率变化，当$f(x)=0$时达到增长峰值，此后增速放缓，可指导公司调整营销投入策略。

二、立体几何与空间想象题

题目：现有一个棱长为4的正方体木块，在其顶点$A$处钻一个半径为1的圆柱形通孔，通孔轴线沿正方体体对角线方向，直至对面顶点$C_1$。

（1）求剩余木块的表面积（通孔内壁面积计入表面积）；

（2）若在剩余木块内部放置一个体积最大的球，求该球的半径；

（3）请设计一个由正方体切割得到的几何体，使其同时满足：①有且仅有3个面为曲面；②三视图中至少有两个视图为全等的矩形。描述该几何体的结构特征并计算其体积。

解答要点：

（1）正方体表面积为$6\times4^2=96$，减去两个通孔截面面积$2\times\pi\times1^2=2\pi$，加上通孔内壁面积（圆柱侧面积）。体对角线长为$4\sqrt{3}$，故内壁面积为$2\pi\times1\times4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\pi$，剩余表面积为$96-2\pi+8\sqrt{3}\pi$。

（2）剩余木块内部空间需同时避开正方体棱角和通孔圆柱。通过分析正方体中心到通孔轴线的距离（利用空间直角坐标系计算），结合球与圆柱相切条件，可得最大球半径$r=\frac{4-\sqrt{2}}{2}$（需验证球是否与正方体各面及通孔内壁均不相交）。

（3）设计示例：在棱长为$a$的正方体中，分别沿三组对面的中心轴挖去半径为$r$的半圆柱（仅保留一个方向的完整圆柱），形成“十字形”通孔。此时几何体有3个曲面（圆柱侧面），正视图和侧视图均为长$a$、宽$a-2r$的矩形，俯视图为带两个半圆的矩形。体积计算需用正方体体积减去三个半圆柱体积（注意避免重复扣除重叠部分）。

三、概率统计与数据分析题

题目：某中学为研究学生每周体育锻炼时间与学业成绩的关系，随机抽取100名学生，得到如下数据：

锻炼时间/小时

学业成绩优秀人数

学业成绩非优秀人数

总计

$t3$

5

25

30

$3\leqt6$

15

35

50

$t\geq6$

10

10

20

总计

30

70

100

（1）能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“体育锻炼时间与学业成绩优秀有关”？（参考公式：$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，临界值$\chi^2_{0.01}=6.635$）

（2）从“$t\geq6$”组中按成绩分层抽样选取6人，再从这6人中随机选2人，求至少有1人成绩优秀的概率；

（3）请指出该研究可能存在的两个潜在问题（如样本偏差、变量控制等），并提出改进方案。

解答过程：

（1）计算$\chi^2=\frac{100\times(5\times35-25\times15)^2}{30\times70\times30\times70}\approx4.766.635$，故不能在0.01显著性水平下认为两者有关。

（2）分层抽样后，优秀生4人（记为A,B,C,D），非优秀生2人（记为a,b）。总组合数为$C_6^2=15$，对立事件“无优秀生”仅1种（ab），故所求概率为$1-\frac{1}{15}=\frac{14}{15}$。

（3）潜在问题：

样本