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2025年下学期高中数学开放性问题试卷

一、函数与代数综合题（20分）

设函数$f(x)$满足对任意正整数$n$，均有$f(n+1)=f(n)+\frac{1}{f(n)}$，且$f(1)=1$。

（1）试构造两个不同类型的函数模型（如分式函数、指数函数等），使得它们在区间$[1,3]$上的函数值与$f(x)$的误差不超过0.1，并说明选择模型的依据。

（2）若定义数列$a_n=f(n)^2$，证明：当$n\geq2$时，$2n-1a_n2n$成立，并探讨该不等式对任意实数$x\geq1$是否具有可推广性。

（3）在实际问题中，某种群数量增长符合上述迭代规律（单位：万只/年），初始数量为1万只。若环境承载力为10万只，试设计两种不同的干预方案（如线性调控、分段函数调控等），使得种群数量在第10年时不超过环境承载力，并分析各方案的调控强度差异。

二、几何与空间想象题（20分）

在棱长为4的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$P$是棱$AA_1$上的动点（不含端点），点$Q$是底面$ABCD$内的动点，且满足$PQ=2\sqrt{2}$。

（1）建立空间直角坐标系，求动点$Q$的轨迹方程，并判断该轨迹的几何特征。

（2）将正方体沿棱$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1D_1$、$D_1A_1$剪开并展成平面图形，求展开图中$P$、$Q$两点间的最短距离，并说明展开方式对结果的影响。

（3）若在正方体内部存在一个半径为$r$的球与所有包含点$Q$的轨迹的平面相切，试确定$r$的取值范围，并设计一种测量该球体积的实验方案（可使用刻度尺、水、量杯等工具）。

三、概率与统计分析题（20分）

某电商平台为优化配送效率，收集了100天的每日订单量数据（单位：千单），得到频率分布直方图如下（部分数据缺失）：

|订单量区间|[5,10)|[10,15)|[15,20)|[20,25)|[25,30]|

|------------|--------|---------|---------|---------|---------|

|频率|0.12|0.28|0.32|？|0.08|

（1）补全频率分布直方图，并估计该平台每日订单量的中位数。若用分层抽样从订单量在[5,10)和[25,30]的天数中抽取5天，再从这5天中随机选取2天进行深度分析，求至少有1天订单量在[25,30]的概率。

（2）假设订单量$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu$为样本均值，$\sigma^2$为样本方差。若配送员甲处理订单的速度为20单/小时，配送员乙为15单/小时，试设计一种人员分配方案（可分时段、分区域），使得每日配送总时长的期望值最小，并说明方案的鲁棒性（即抗数据波动能力）。

（3）为提升用户满意度，平台拟推出“超时赔付”服务：若订单配送时间超过承诺时间$t$分钟，则赔付10元。已知配送时间$T$与订单量$X$的关系为$T=2X+30+\xi$（$\xi$为随机误差，服从$U(-10,10)$）。试确定$t$的值，使得平台每日赔付成本不超过当日营业额的5%（假设平均每单营业额为50元），并分析该方案对用户行为可能产生的影响。

四、数学建模与优化题（20分）

某城市计划修建一条连接A、B两地的快速公交线路，线路需经过C、D两个区域（如图所示），其中AC段为直线距离3公里，BD段为直线距离4公里，CD段需绕行一片矩形湖泊（长5公里，宽2公里）。

（1）若CD段路线只能沿湖泊边缘修建，试建立总路程$L$关于某一角度$\theta$的函数模型，并求$L$的最小值。

（2）若允许架设桥梁跨越湖泊（桥梁长度不超过3公里），且建造成本为：地面道路200万元/公里，桥梁500万元/公里。试设计路线方案，使总造价最低，并绘制造价关于桥梁长度的函数图像。

（3）实际施工中发现，湖泊西侧地质条件复杂，地面道路造价需上浮20%。在不增加总造价的前提下，探讨三种应对措施（缩短桥梁长度、调整路线走向、分段采用不同施工工艺）的可行性，并用数据说明决策依据。

五、跨学科综合题（20分）

（1）物理学中的单摆周期公式为$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$（$l$为摆长，$g$为重力加速度）。若摆长$l$随温度$t(^\circ\text{C})$的变化规律为$l(t)=l_0(1+\alphat)$（$\alpha$为线膨胀系数），重力加速度$g$随海拔$h$（公里）的变化规律为$g(h)=\frac{9.8}{(1+\frac{h}{6371})^2}$。试建立周期$T$关于$t$和$h$的二元函数模型，并分析在$t\in[-10,40]$、$h\in[0,5]$范围内，哪个因