2025年下学期高中数学竞赛速算巧算试卷.docVIP

2025年下学期高中数学竞赛速算巧算试卷

一、选择题（共10题，每题5分，共50分）

1.计算((2025^2-2024^2)\div(2025-2024))的结果为（）

A.1B.4049C.20252D.20242

解析：利用平方差公式(a^2-b^2=(a+b)(a-b))，原式可化简为((2025+2024)(2025-2024)\div(2025-2024)=2025+2024=4049)，选B。

2.已知(x+\frac{1}{x}=3)，则(x^4+\frac{1}{x^4}=)（）

A.47B.49C.51D.53

解析：先平方得(x^2+2+\frac{1}{x^2}=9\Rightarrowx^2+\frac{1}{x^2}=7)，再平方得(x^4+2+\frac{1}{x^4}=49\Rightarrowx^4+\frac{1}{x^4}=47)，选A。

3.若(a=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})，(b=\sqrt{2024}-\sqrt{2023})，则(a)与(b)的大小关系为（）

A.(ab)B.(ab)C.(a=b)D.无法比较

解析：分子有理化，(a=\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}})，(b=\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}})，分母(ab\Rightarrowab)，选B。

4.计算(\sin15^\circ\cos15^\circ=)（）

A.(\frac{1}{2})B.(\frac{\sqrt{3}}{4})C.(\frac{1}{4})D.(\frac{\sqrt{2}}{4})

解析：利用二倍角公式(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta)，原式(=\frac{1}{2}\sin30^\circ=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4})，选C。

5.已知等比数列({a_n})中，(a_1=1)，(a_5=16)，则(a_3=)（）

A.4B.-4C.±4D.8

解析：等比中项(a_3^2=a_1a_5=16)，又(a_3=a_1q^20)，故(a_3=4)，选A。

6.若复数(z=\frac{1+i}{1-i})，则(|z|=)（）

A.1B.(\sqrt{2})C.2D.(2\sqrt{2})

解析：分母实数化，(z=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i)，模长(|z|=1)，选A。

7.函数(f(x)=x^3+\sinx+1)，若(f(a)=2)，则(f(-a)=)（）

A.0B.1C.-1D.-2

解析：设(g(x)=x^3+\sinx)，则(g(x))为奇函数，(f(a)=g(a)+1=2\Rightarrowg(a)=1)，故(f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=0)，选A。

8.计算(\log_23\times\log_34\times\log_45\times\cdots\times\log_{2024}2025)的结果为（）

A.(\log_22025)B.9C.10D.(\log_{2024}2025)

解析：换底公式(\log_ab=\frac{\lnb}{\lna})，连乘后中间项抵消，原式(=\frac{\ln3}{\ln2}\times\frac{\ln4}{\ln3}\times\cdots\times\frac{\ln2025}{\ln2024}=\frac{\ln2025}{\ln2}=\log_22025)，但(2025=45^2=9^2\times5=3^4\times5)，并非2的幂，而选项中B为9，可能题目隐含(\log_2512=9)，但2025=